Publication: Iterated integrals of orthogonal polynomials and applications
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Publication date
2017-05
Defense date
2017-05-17
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Abstract
La presente tesis doctoral tiene por objeto el estudio de familias de polinomios que son soluciones del siguiente problema con valores iniciales
donde tanto f como g son polinomios y L en los capítulos 2 y 3 es el operador derivada m-ésima de f. La diferencia en los dos casos anteriores
es que mientras en el capítulo 2 se considera que g es un polinomio ortogonal clásico sobre la recta real, en el capítulo 3 denotamos por
g al polinomio ortogonal con respecto a una cierta medida soportada sobre un arco de la circunferencia unidad y [omega]k es constante para cada
k = 0 ,..., m. El capítulo 4, se dedica a las aplicaciones al procesamiento digital de imágenes, de las soluciones del problema (1) cuando f = g. Como puede apreciarse más adelante, este último caso corresponde a los conocidos polinomios de Krawtchouk. Acerca de la localización de los puntos críticos de polinomios en
términos de sus ceros existe una teoría amplia (vea [72, Part I] y [81]), cuyas bases fundamentales son los teoremas de Rolle, Gauss-Lucas y sus refinamientos. Sin embargo, no existen recíprocos generales de estos resultados. Es obvio, que dado un cero de un polinomio y sus puntos críticos, los restantes ceros están unívocamente determinados. No obstante, solo existen unos pocos resultados sobre localización de ceros en función de sus puntos críticos y uno de sus ceros, la mayoría de los
cuales se pueden ver en [72, x4.5]. En general, estos resultados son corolarios del Teorema de Composición de Schur-Szego (vea [72, Th.3.4.1d]. Quizás, los resultados más significativos en este sentido sean los Teoremas de Walsh [72, Th. 4.5.1] y Biernacki [72, Th. 4.5.2]. Hasta donde conocemos, sobre la localización de ceros de integrales iteradas de polinomios, normalizados con la condicin de anularse en el origen, solo existe el trabajo [16]. El mencionado artículo estudia varios casos particulares de familias de polinomios, entre ellos los polinomios de Legendre, y plantea una serie de conjeturas, algunas de las cuales se responden en
los Capítulos 2 y 3 de esta memoria. El Capítulo 2 de esta memoria está dedicado a las integrales iteradas de polinomios ortogonales clásicos sobre la recta real, con énfasis en el caso Jacobi. Los trabajos [9, 10] muestran el interés de este tipo de polinomios para las aplicaciones a los métodos numéricos de elementos finitos. Es bien conocido que el polinomio mónico de Hermite Hn+m de grado (n + m) 2 Z+, donde tanto n como m son enteros no negativos.
Como se mencionó anteriormente, el tercer capítulo se dedica al estudio del comportamientos asintótico los polinomios obtenidos mediante
la integración iterada de los polinomios ortogonales con respecto a medias soportadas en un arco de la circunferencia unidad y el conjunto de
acumulación de sus ceros. Se encuentra el comportamiento asintótico
relativo entre las familias de polinomios ortogonales y sus respectivas
familias de polinomios obtenidos por integración iterada. Se muestra la
representación gráfica de regiones cerradas que contienen los ceros de las
nuevas familias de polinomios y de curvas donde se acumulan los mismos
en varios casos particulares.
El tema central del Capítulo 4 es la implementación de un algoritmo
eficiente para la detección de bordes de imágenes digitales basado en las
propiedades de los polinomios ortogonales de Krawtchouk en dos variables.
La primera parte del capítulo se dedica a estudiar las propiedades
de esta familia de polinomios ortogonales en dos variables, que son de
interés para el algoritmo propuesto. Las novedades de este algoritmo
que fundamentan la calificación de eficiente son las siguientes: La aproximación de las diferencias parciales (derivadas parciales
discretas) se realiza mediante una combinación lineal de polinomios
de Krawtchouk en dos variables, los cuales son ortogonales con
respecto a un producto interior discreto que involucra a la distribución binomial. En consecuencia, ya no es necesario suavizar la imagen mediante un filtro Gaussiano en dos dimensiones antes de realizar la diferenciación numérica, con el fin de regularizar la
naturaleza mal condicionada de la diferenciación (ver [91]) y por
lo tanto mejorar la localización de los bordes. En [11, 36] los autores describen un procedimiento para la detección de bordes utilizando los polinomios discretos de Chebyshev y un único umbral de discriminación de bordes para toda la
imagen. Aquí, el algoritmo propuesto utiliza dos niveles de umbrales
adaptativos, lo que reduce la presencia de falsos positivos o
negativos en la selección de pixels-bordes.
El operador gradiente para submatrices bloques de 5x5, en lugar
del tradicional 3x3, proporciona una mejor localización de los
pixels-bordes, ya que los bordes tienden a ser más gruesos cuando
el tamaño del bloque incrementa [36, 69]. Para evitar el efecto de bordes gruesos y mejorar el resultado final en el algoritmo se aplican operaciones morfológicas (estrechar, erosionar y adelgazar) a la imagen de borde obtenida después del
segundo paso de procesamiento del algoritmo.
Para demostrar la efectividad del algoritmo propuesto se utilizaron
imágenes tomadas de dos campos de aplicación muy diferentes: imágenes
naturales utilizadas para la detección de objetos, vigilancia, etc; así como
mapas de profundidad utilizados actualmente en aplicaciones y servicios
multimedia de video 3D. Los contornos de objetos superpuestos, como
la identificación de objetos de primer plano en mapas de profundidad,
se obtienen con bastante buena precisión.
Description
Mención Internacional en el título de doctor
Keywords
Polinomios ortogonales, Teoría de funciones, Orthogonal Polynomials, Orthogonal Polynomials on an arc of the Unit Circle (OPUC), Iterated Integrals