Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes variables

Abstract

La resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior suele apoyarse en la consideración de un sistema ampliado de primer orden. Este enfoque clásico presenta dos inconvenientes. El primero de ellos es el aumento del volumen computacional debido al correspondiente aumento de la dimensión del problema transformado. El segundo inconveniente es la pérdida de explicitez de las soluciones obtenidas en términos de los datos. En la línea de trabajo de nuestro grupo de invest igación nos proponemos aquí, progresar en el empeño de obtener soluciones de sistemas de ecuaciones de orden superior, con la calidad de respuesta del caso escalar. ~ecuérdese que el método de Frobenius es un método directo que trata en el caso escalar las ecuaciones de segundo orden sin considerar el problema equivalente ampliado de primer orden. Nos proponemos obtener soluciones explícitas de sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes analíticos sin aumentar la dimensión del problema. Como consecuencia de este estudio surgirán funciones especiales matriciales de Bessel y polinomios ortogonales matriciales de tipo Gegenbauer que gozan de propiedades análogas a los correspondientes del caso escalar y que esperamos constituyan el punto de partida para la obtención de métodos analítico-num&ricos de resoluci6n de otros tipos de problemas como la integración numérico-matricial o la resolución de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, tal como se ha conseguido en 1211, 1271 y 1281 para el caso de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes constantes. En el capítulo 1, además de recordar algunos hechos fundamentales que se utilizarán en capítulos posteriores, presentaremos resultados de tipo Frobenius matricial para ecuaciones de la forma Los capítulos 11 y 111 están dedicados a sistemas de tipo Bessel matricial donde A es una matriz cuadrada (posiblemente singular), que introducir las funciones de Bessel matriciales y propiedades. La memoria concluye con la necesaria lista de referencias. La clasificación temática de este trabajo de acuerdo con la 1991 AMS Subject Classification es la siguiente: 33C10, 34A30, 47A60, 15A24. Comenzaremos este primer capítulo presentando diversos resultados del cálculo funcional matricial así como la resolución de ciertas ecuaciones algebraicas matriciales de utilidad para los capítulos posteriores. Trataremos también del concepto de con junto fundamental de soluciones de ecuaciones diferenciales matriciales de segundo orden de la forma: Y"(t) + P(t)Y1(t) + Q(t)Y(t) = O, donde P(t) y Q(t) son funciones contínuas con valores en cnXn. Finalmente, pese a que el objetivo de esta tesis se centra en el estudio de dos ecuaciones diferenciales particulares, hemos creído conveniente comentar, a modo de introducción, algunos resultados generales sobre ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes analíticos de segundo orden: donde A(t) y B(t) son funciones analíticas matriciales. En todo lo relativo a demostrar la convergencia absoluta de soluciones matriciales en serie utilizaremos el concepto de norma-2 o norma espectral de una matriz. Si B es una matriz de cmXny B~ es la transpuesta conjugada de B, la norma espectral de B viene definida por: