On the Connectedness of the Spectrum of Forcing Algebras

Sobre la conexidad del espectro de álgebras de forzado

We study the connectedness property of the spectrum of forcing algebras over a noetherian ring. In particular we present for an integral base ring a geometric criterion for connectedness in terms of horizontal and vertical components of the forcing algebra. This criterion allows further simplifications when the base ring is local, or one--dimensional, or factorial. Besides, we discuss whether the connectedness of forcing algebras is a local property. Finally, we present a characterization of the integral closure of an ideal by means of the universal connectedness of the corresponding forcing morphism.

Estudiamos la conexidad del espectro de álgebras de forzado sobre anillo noetherianos. En particular, presentamos un criterio de conexidad cuando el anillo base es un dominio en términos de las componentes verticales y horizontales del álgebra de forzado. Este criterio nos permite obtener simplificaciones en el caso en el que el anillo base es local, o 1--dimensional o un dominio de factorización única. Además, discutimos sobre si la conexidad de las álgebras de forzado es una propiedad local. Finalmente, presentamos una caracterización de pertenencia a la clausura entera de un ideal en términos de la conexidad universal del correspondiente morfismo de forzado.

On the Connectedness of the Spectrum of Forcing Algebras Sobre la conexidad del espectro de álgebras de forzado HOLGER BRENNER¹, DANNY DE JESÚS GÓMEZ-RAMÍREZ²

¹Universität Osnabrück, Osnabrück, Germany. Email: hbrenner@uos.de
²Universität Osnabrück, Osnabrück, Germany. Email: dagomez1982@yahoo.com

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Abstract

We study the connectedness property of the spectrum of forcing algebras over a noetherian ring. In particular we present for an integral base ring a geometric criterion for connectedness in terms of horizontal and vertical components of the forcing algebra. This criterion allows further simplifications when the base ring is local, or one--dimensional, or factorial. Besides, we discuss whether the connectedness of forcing algebras is a local property. Finally, we present a characterization of the integral closure of an ideal by means of the universal connectedness of the corresponding forcing morphism.

Key words: Forcing algebra, Connectedness, Integral closure.

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2000 Mathematics Subject Classification: 13B22, 14A15, 14R25, 54D05.

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Resumen

Estudiamos la conexidad del espectro de álgebras de forzado sobre anillo noetherianos. En particular, presentamos un criterio de conexidad cuando el anillo base es un dominio en términos de las componentes verticales y horizontales del álgebra de forzado. Este criterio nos permite obtener simplificaciones en el caso en el que el anillo base es local, o 1--dimensional o un dominio de factorización única. Además, discutimos sobre si la conexidad de las álgebras de forzado es una propiedad local. Finalmente, presentamos una caracterización de pertenencia a la clausura entera de un ideal en términos de la conexidad universal del correspondiente morfismo de forzado.

Palabras clave: Álgebra de forzado, conexidad, clausura entera.

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Texto completo disponible en PDF

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References

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(Recibido en febrero de 2012. Aceptado en agosto de 2013)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

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    AUTHOR  = {Brenner, Holger and Gómez-Ramírez, Danny de Jesús},
    TITLE   = {{On the Connectedness of the Spectrum of Forcing Algebras}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2014},
    volume  = {48},
    number  = {1},
    pages   = {1--19}
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