Modelo discreto para una ecuación de difusión no local

Discrete Model of a Nonlocal Diffusion Equation

En este trabajo, probamos existencia y unicidad de soluciones, así como la validez de un principio de comparación para un modelo discreto asociado a un problema de difusión no local con condición de Neumann. Demostramos que las soluciones del modelo discreto convergen a las soluciones del modelo continuo cuando el parámetro de la malla va a cero. Finalmente mostramos algunos experimentos numéricos.

In this work we prove the existence and uniqueness of solutions as well as the validation of a comparison principle for a discrete model associated to a nonlocal diffusion problem with Neumann conditions. We show that the solutions for the discrete model converge to the solutions of the continuous model when the mesh parameter goes to zero. Finally, we perform some numerical experiments.

Modelo discreto para una ecuación de difusión no local Discrete Model of a Nonlocal Diffusion Equation MAURICIO BOGOYA¹, CESAR A. GÓMEZ S.²

¹Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia. Email: mbogoyal@unal.edu.co
²Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia. Email: cagomezsi@unal.edu.co

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Resumen

En este trabajo, probamos existencia y unicidad de soluciones, así como la validez de un principio de comparación para un modelo discreto asociado a un problema de difusión no local con condición de Neumann. Demostramos que las soluciones del modelo discreto convergen a las soluciones del modelo continuo cuando el parámetro de la malla va a cero. Finalmente mostramos algunos experimentos numéricos.

Palabras clave: Difusión no local, condiciones de Neumann, discretización, convergencia.

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2000 Mathematics Subject Classification: 35K57, 35B40.

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Abstract

In this work we prove the existence and uniqueness of solutions as well as the validation of a comparison principle for a discrete model associated to a nonlocal diffusion problem with Neumann conditions. We show that the solutions for the discrete model converge to the solutions of the continuous model when the mesh parameter goes to zero. Finally, we perform some numerical experiments.

Key words: Nonlocal Diffusion, Neumann Boundary Conditions, Discretizations, Convergence.

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Texto completo disponible en PDF

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Referencias

[1] P. Bates, P. Fife, X. Ren, and X. Wang, 'Travelling Waves in a Convolution Model for Phase Transitions', Arch. Rat. Mech. Anal. 138, (1997), 105-136.

[2] M. Bogoya, R. Ferreira, and J. D. Rossi, 'Neumann Boundary Conditions for a Nonlocal Nonlinear Diffusion Operator. Continuous and Discrete Models', Proceedings of the American Mathematical Society 135, 12 (2007), 3837-3846.

[3] M. Bogoya and C. A. Gómez, 'On a Nonlocal Diffusion Model with Neumann Boundary Conditions', Nonlinear Analysis 75, 6 (2012), 3198-3209.

[4] C. Cortázar, M. Elgueta, and J. D. Rossi, 'A Nonlocal Diffusion Equation whose Solutions Develop a Free Boundary', Ann. Henri Poincaré 6, 2 (2005), 269-281.

[5] C. Cortázar, M. Elgueta, J. D. Rossi, and N. Wolanski, 'Boundary Fluxes for Nonlocal Diffusion', J. Differential Equations 234, (2007), 360-390.

[6] C. Cortázar, M. Elgueta, J. D. Rossi, and N. Wolanski, 'How to Aproximate the Heat Equation with Neumann Boundary Conditions by Nonlocal Diffusion Problems', Arch. Rat. Mech. Anal. 187, 1 (2008), 137-156.

[7] P. Fife, 'Some Nonclassical Trends in Parabolic and Parabolic-Like Evolutions', Trends in Nonlinear Analysis 2003, (2000), 153-191.

[8] M. Pérez-Llanos and J. D. Rossi., 'Numerical Approximations for a Nonlocal Evolution Equation', Proceedings of the American Mathematical Society 49, 5 (2011), 2103-2123.

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(Recibido en septiembre de 2012. Aceptado en marzo de 2013)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv47n1a06,
    AUTHOR  = {Bogoya, Mauricio and Gómez S., Cesar A.},
    TITLE   = {{Modelo discreto para una ecuación de difusión no local}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2013},
    volume  = {47},
    number  = {1},
    pages   = {83--94}
}

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