Embedded CMC Hypersurfaces on Hyperbolic Spaces

In this paper we will prove that for every integer $n>1$, there exists a real number $H_0<-1$ such that every $H\in (-\infty,H_0)$ can be realized as the mean curvature of an embedding of $H^{n-1}\times S^1$ in the $n+1$-dimensional space $H^{n+1}$. For $n=2$ we explicitly compute the value $H_0$. For a general value $n$, we provide a function $\xi_n$ defined on $(-\infty,-1)$, which is easy to compute numerically, such that, if $\xi_n(H)>-2\pi$, then, $H$ can be realized as the mean curvature of an embedding of $H^{n-1}\times S^1$ in the $(n+1)$-dimensional space $H^{n+1}$.

Embedded CMC Hypersurfaces on Hyperbolic Spaces Hipersuperficies encajadas con CMC en el espacio hiperbólico OSCAR PERDOMO1

1Central Connecticut State University, New Britain, United States. Email:perdomoosm@ccsu.edu 

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Abstract

In this paper we will prove that for every integer n>1, there exists a real number H0<-1 such that every H∈ (-∞,H0) can be realized as the mean curvature of an embedding of Hn-1\times S1 in the n+1-dimensional space Hn+1. For n=2 we explicitly compute the value H0. For a general value n, we provide a function ξn defined on (-∞,-1), which is easy to compute numerically, such that, if ξn(H)>-2π, then, Hcan be realized as the mean curvature of an embedding of Hn-1\times S1 in the (n+1)-dimensional space Hn+1.

Key words: Principal curvatures, Hyperbolic spaces, Constant mean curvature, CMC, Embeddings.

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2000 Mathematics Subject Classification: 58A10, 53C42.

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Resumen

En este artículo demostramos que para cada número entero n>1, existe un número real H0<-1, tal que todo H∈ (-∞,H0) puede obtenerse como la curvatura media de un encaje de la variedad Hn-1\times S1 en el espacio hiperbólico n+1 dimensional Hn+1. Para n=2 calcularemos explícitamente el valor H0. Para otros valores de n, daremos una función ξn definida en el intervalo (-∞,-1), la cual es fácil de calcular numéricamente, con la propiedad de que si ξn(H)>-2π, entonces el número H puede obtenerse como la curvatura media de un encaje de la variedad Hn-1\times S1 en el espacio hiperbólico n+1 dimensional Hn+1.

Palabras clave: Curvaturas principales, espacio hiperbólico, curvatura media constante, CMC, encajes.

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Texto completo disponible en PDF

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References

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(Recibido en octubre de 2010. Aceptado en abril de 2011)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv45n1a06, 
    AUTHOR  = {Perdomo, Oscar}, 
    TITLE   = {{Embedded CMC Hypersurfaces on Hyperbolic Spaces}}, 
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas}, 
    YEAR    = {2011}, 
    volume  = {45}, 
    number  = {1}, 
    pages   = {81-96} 
}