Resumen de Hamiltonian linear type centers and nilpotent centers of linear plus cubic polynomial vector fields
Ilker Evrim Colak
En este trabajo proporcionamos doce formas normales para todos los campos vectoriales polinomiales Hamiltonianos en el plano que tienen términos lineales más cúbicos homogéneos y que poseen en el origen un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Para estos sistemas caracterizamos sus retratos de fase globales en el disco de Poincaré y describimos sus diagramas de bifurcación. Las formas normales de estos sistemas las obtenemos utilizando las formas normales de los sistemas cúbicos homogéneos dados en [1], y añadiendo a estos los términos lineales de manera que el origen sea un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Luego describimos los retratos de fase globales en el disco de Poincaré de estas doce familias de sistemas. Para ello en primer lugar encontramos los retratos de fase en el infinito de esos sistemas, y luego encontramos los retratos de fase locales en los puntos singulares finitos. Usando estos dos resultados determinamos los posibles retratos de fase globales de cada familia. Para algunas familias los puntos singulares finitos son demasiado complicados para estudiar sus retratos de fase local, y en algunos otros casos ni siquiera podemos calcular los puntos singulares finitos. En estas situaciones primero determinamos el número máximo de puntos singulares finitos que los sistemas pueden tener, a continuación utilizando el hecho de que el índice total de todos los puntos singulares de un campo vectorial en la esfera de Poincaré con un número finito de puntos singulares es 2 (este resultado se conoce como el teorema de Poincaré–Hopf) determinamos el número posible de puntos singulares finitos y sus posibles retratos fase locales posibles. Para determinar los posibles retratos de fase globales posibles miramos el número de puntos de una recta que pasa por el origen que se encuentran en el mismo nivel de energía. Puesto que los polinomios Hamiltonianos de las doce familias de sistemas son de cuarto grado, no puede haber más que cuatro de tales puntos. Si encontramos que sólo un retrato de fase global es posible para una familia, entonces este es el retrato de fase de la familia. Si hay más de un retrato de fase global posible, entonces mostramos que podemos elegir los parámetros de forma que los retratos de fase se realicen. Por último, después de haber determinado los retratos de fase global para cada familia, describimos sus diagramas de bifurcación utilizando las dos diferencias principales entre estos retratos de fase: el número de puntos singulares finitos y el número de sillas en el mismo nivel de energía. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448.
