Resumen de Métodos de Geometría Algebraica en Teoría de Códigos Convolucionales
Gloria Serrano Sotelo
[ES] En este trabajo se desarrolla la teoría de un nuevo tipo de códigos convolucionales que generalizan los códigos algebraicos de Goppa y que permiten construir importantes familias de códigos con buenas prestaciones en cuanto a su implementación, con alfabeto pequeño, y a su capacidad de corregir errores, es decir, con la mayor distancia posible entre sus palabras. Se parte de la teoría algebraica de códigos convolucionales de Forney, adaptándola en función de los objetivos de esta memoria y haciendo especial énfasis en su interpretación como módulos sobre un dominio de ideales principales y en su relación con los sistemas lineales. Se definen los códigos convolucionales de Goppa sobre curvas algebraicas como códigos algebro-geométricos obtenidos por evaluación de una serie lineal en puntos racionales de una curva algebraica sobre el cuerpo de las funciones racionales de una variable con coeficientes en un cuerpo finito. Se calcula su longitud y dimensión en función de los divisores sobre la curva asociados y se demuestra que el código convolucional es también un código convolucional de Goppa. De este modo se generaliza la teoría de Goppa de códigos en curvas algebraicas sobre un cuerpo finito al cuerpo (infinito) de funciones racionales sobre él, evitando así el problema de encontrar suficientes puntos racionales. Por ello a estos nuevos códigos los denominamos códigos convolucionales de Goppa (CGC) o de tipo Goppa. Se ilustra esta construcción general con ejemplos de códigos convolucionales de Goppa sobre curvas de género cero y uno que son MDS. Se construyen códigos convolucionales de Goppa sobre la recta proyectiva que son MDS, describiendo explícitamente sus matrices generadoras y de control proponiendo numerosos ejemplos en los que fácilmente se dan las matrices codificadoras y de control y también una realización minimal del sistema lineal asociado. Esta construcción, que engloba resultados de otros autores, nos permite construir familias de códigos de este tipo que son óptimos o MDS, es decir con la máxima distancia posible entre sus palabras, y también clasificarlas dando explícitamente las ecuaciones de los códigos de la familia que no son MDS. Se incluyen ejemplos que ponen de manifiesto la ventaja de la teoría desarrollada en la elección de códigos convolucionales MDS sobre alfabeto pequeño. Se generaliza la construcción de nuestros códigos convolucionales de Goppa sobre curvas a variedades algebraicas proyectivas de dimensión superior. Estos códigos están asociados a una pareja formada por un subesquema de dimensión cero (una familia de puntos racionales distintos) y un divisor cuyo soporte no pasa por esos puntos. Se detalla esta construcción en dos casos interesantes: el plano proyectivo y la superficie reglada trivial, añadiendo ejemplos de buenos códigos en el sentido reseñado. Se definen y estudian también los códigos convolucionales de Goppa sobre fibraciones, construyéndolos sobre familias de variedades algebraicas parametrizadas por la recta afín, que dan códigos lineales sobre las fibras de los puntos cerrados y un código convolucional de Goppa en la fibra sobre el punto genérico. Se incluyen como aplicaciones: una interpretación geométrica de la distancia libre del código y una nueva interpretación de algunos códigos 2D.
