Resumen de Indices of polynomial vector fields with applications
En esta memoria se estudian algunas propiedades de las curvas definidas por ecuaciones diferenciales del tipo x=x(x) donde x es un punto de r elevado a k y x es un campo polinomial, en el capitulo i damos una cota para el valor absoluto de la suma de los indices de los puntos criticos de un campo polinomialen el plano. Posteriormente se da una cota para la suma de los valores absolutosde los indices de los puntos criticos de un campo polinomial en r elevado ak. Cada una de estas acotaciones se da en funcion de los grados de los polinomios que definen el campo. En el capitulo ii se dan cotas para el numero de puntos criticos de indices + o - 1 de un campo polinomial en r elevado a k. En el capitulo iii damos el maximo numero de nidos de ciclos limite asi como sus posiciones relativas. El capitulo iv esta destinado a dar una clasificacion algebraica y topologica de los sistemas cubicos homogeneos en el plano. Para la clasificacion topologica usamos herramientas estandart de campos planos mas la primera desigualdad obtenida en el capitulo i. Para la clasificacion algebraica recurrimos a la teoria clasica de invariantes. En el capitulo v estudiamos campos polinomiales acotados. Demostramos que cada campo polinomial acotado en el plano tiene la siguiente propiedad: la suma de los indices de los puntos criticos es igual a 1. Para campos polinomiales en r elevado a k demostramos que genericamente la suma de los indices de los puntos criticos es igual a (-1) elevado a k. Finalmente en el capitulo vi estudiamos la relacion entre el indice la multiplicidad y el numero de interseccion de un punto critico de un campo polinomial definido en r elevado a k. Como aplicacion de estos resultados damos una nueva demostracion del segundo resultado demostrado en el capitulo i.
