Resumen de Álgebra homotópica en categorías que modelan algebraicamente espacios no conexos
Raquel Osorio Blanco
La memoria se enmarca dentro de lo que se conoce como Teoría de homotopía abstracta, en la línea desarrollada por Quillen, El objetivo fundamental es obtener en la categoría de grupoides simpliciales, con conjunto de objetos constante C y en ciertas subcategorías suyas, diferentes estructuras de modelos y estudiar entonces las correspondientes teorías de homotopía.
La memoria se divide en cuatro capítulos. El primero de ellos está destinado a introducir los conceptos y resultados fundamentales que se utilizan en la memoria. El objetivo fundamental del capítulo 2 es dar una demostración de que C es una categoría de modelos cerrada con la estructura propuesta por Dwyer-Kan en su trabajo Homotopy theory and simplicial groupoids, así como la equivalencia de la categoría de homotopía resultante y la categoría de conjuntos simpliciales, con su estructura usual, y en consecuencia con la categoría de espacios topológicos.
Esta equivalencia no es sólo de categorías, sino también de teorías de homotopía, esto es, preserva objeto cilindro, espacio arco y sucesiones fibración y cofibración. Se describen explícitamente el espacio de arcos y el objeto cilindro, resultando que las homotopías entre morfismos introducidos en la memoria, quedan caracterizados, como es usual, por los objetos anteriores.
En el capítulo 3 se estudian otras estructuras de modelos para C. Así para cada n->0, apoyándose en la estructura anterior y mediante el uso del funtor coesqueleto, se definen los conceptos de n-(co)-fibración y n-equivalencia débil, obteniendo así una estructura, la n-estructura, con la que C es también una categoría de modelos cerrada. Se estudia entonces la teoría de homotopía resultante y el capítulo finaliza comparando dicha teoría de homotopía con otras existentes. En particular, se concluye que la categoría de homotopía con la n-estructura es equivalente a la categoría de homotopía de CW-c
