Accelerating CFD via local POD plus Galerkin projections

Resumen

Se desarrollan varias técnicas basadas en descomposición ortogonal propia (DOP) local y proyección de tipo Galerkin para acelerar la integración numérica de problemas de evolución, de tipo parabólico, no lineales. Las ideas y métodos que se presentan conllevan un nuevo enfoque para la modelización de tipo DOP, que combina intervalos temporales cortos en que se usa un esquema numérico estándard con otros intervalos temporales en que se utilizan los sistemas de tipo Galerkin que resultan de proyectar las ecuaciones de evolución sobre la variedad lineal generada por los modos DOP, obtenidos a partir de instantáneas calculadas en los intervalos donde actúa el código numérico. La variedad DOP se construye completamente en el primer intervalo, pero solamente se actualiza en los demás intervalos según las dinámicas de la solución, aumentando de este modo la eficiencia del modelo de orden reducido resultante. Además, se aprovechan algunas propiedades asociadas a la dependencia débil de los modos DOP tanto en la variable temporal como en los posibles parámetros de que pueda depender el problema. De esta forma, se aumentan la flexibilidad y la eficiencia computacional del proceso. La aplicación de los métodos resultantes es muy prometedora, tanto en la simulación de transitorios en flujos laminares como en la construcción de diagramas de bifurcación en sistemas dependientes de parámetros. Las ideas y los algoritmos desarrollados en la tesis se ilustran en dos problemas test, la ecuación unidimensional compleja de Ginzburg-Landau y el problema bidimensional no estacionario de la cavidad. Abstract Various ideas and methods involving local proper orthogonal decomposition (POD) and Galerkin projection are presented aiming at accelerating the numerical integration of nonlinear time dependent parabolic problems. The proposed methods come from a new approach to the POD-based model reduction procedures, which combines short runs with a given numerical solver and a reduced order model constructed by expanding the solution of the problem into appropriate POD modes, which span a POD manifold, and Galerkin projecting some evolution equations onto that linear manifold. The POD manifold is completely constructed from the outset, but only updated as time proceeds according to the dynamics, which yields an adaptive and flexible procedure. In addition, some properties concerning the weak dependence of the POD modes on time and possible parameters in the problem are exploited in order to increase the flexibility and efficiency of the low dimensional model computation. Application of the developed techniques to the approximation of transients in laminar fluid flows and the simulation of attractors in bifurcation problems shows very promising results. The test problems considered to illustrate the various ideas and check the performance of the algorithms are the onedimensional complex Ginzburg-Landau equation and the two-dimensional unsteady liddriven cavity problem.