Rank-one numerical index and Bishop-Phelps-Bollobás moduli of a banach space

• Autores: Mario Chica Rivas
• Directores de la Tesis: Miguel Martín Suárez (dir. tes.) , Javier Merí (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2016
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Rafael Payá Albert (presid.) , Ginés López Pérez (secret.) , Ettiene Matheron (voc.) , María Burgos (voc.) , Domingo García Rodríguez (voc.)
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• Resumen

  • RESUMEN PARA TESEO DE LA TESIS DOCTORAL “RANK-ONE NUMERICAL INDEX AND BISHOP-PHELPS-BOLLOBÁS MODULI OF A BANACH SPACE”.

    DOCTORANDO: MARIO CHICA RIVAS DIRECTORES: MIGUEL MARTÍN SUÁREZ Y Fº JAVIER MERÍ DE LA MAZA (En español) Esta memoria está dedicada al estudio de algunos aspectos de la geometría de los espacios de Banach a través del desarrollo de dos herramientas: índice numérico de rango uno y los módulos de Bishop-Phelps-Bollobás de un espacio de Banach. Estas herramientas son completamente independientes, por esa razón este estudio se divide en dos capítulos que se desarrollan independientemente.

    En el primer capítulo desarrollamos el concepto de índice numérico de rango uno n_1(X) de un espacio de Banach X, el cual apareció recientemente en [1] para relacionar el radio numérico y la norma usual de operadores de rango uno en espacios tipo $L_p$. Es un concepto análogo al índice numérico de un espacio de Banach, el cual fue introducido por G. Lumer en 1970 [2]. Probamos que existe una cota inferior para el índice numérico de rango uno: siempre toma valores mayores o iguale que 1/e. También estudiamos algunas propiedades de estabilidad en relación a ciertas sumas de espacios de Banach para este nuevo índice, así como la continuidad del mismo con respecto a la distancia de Banach-Mazur. Presentamos también ejemplos interesantes que relacionan el índice numérico de rango uno de un espacio con el de su dual, demostrando que puede ocurrir que n _1(X*) < n_1(X). Además, construimos algunos ejemplos que relacionan el índice numérico de rango uno con otros índices naturales que pueden considerarse. Todos estos resultados pueden ser encontrados en un trabajo conjunto con M. Martín y J. Merí [3]. También calculamos el índice numérico de rango uno para algunas familias de normas poliédricas en el plano que aparecen en un trabajo conjunto con J. Merí [4]. Por último, se presentan algunos pequeños avances sobre el cálculo del índice numérico de rango uno en espacios de tipo L_p.

    El segundo capítulo está dedicado al estudio de dos funciones que pueden ser definidas para todo espacio de Banach y, grosso modo, dan una medida de cual es el mejor posible teorema de Bishop-Phelps-Bollobás que se puede tener en un espacio de Banach concreto. Como es bien sabido, el clásico teorema de Bishop-Phelps [5] establece que el conjunto de funcionales que alcanzan la norma en un espacio de Banach es denso en el espacio dual para la topología de la norma. Algunos años más tarde, B. Bollobás [6] dio una versión refinada de este teorema, permitiendo aproximar al mismo tiempo un funcional y un vector en los cual casi se alcanza la norma. Este resultado clásico es el comienzo de nuestro estudio. Las herramientas principales que desarrollamos y usamos son dos funciones que llamamos: módulos de Bishop-Phelps-Bollobás de un espacio de Banach. Probamos que existe una cota superior común para ambos módulos de Bishop-Phelps-Bollobás que es óptima: probamos que ambos son menores o iguales que $\sqrt{2\delta}$ para $\delta$ en el intervalo (0,2). También estudiamos algunas propiedades de los módulos. Más concretamente, establecemos la relación entre el módulo de un espacio y su dual, la continuidad de ambos módulos respecto a la variable $\delta$ y la continuidad respecto de la distancia de Banach-Mazur. Proporcionamos el valor exacto de los módulos para los espacios de Hilbert y también presentamos algunos ejemplos para los cuales los módulos son el máximo posible para pequeños deltas. Entre estos ejemplos podemos encontrar $L_1(\mu)$ y $C_0(L)$ donde $\mu$ es una medida positiva y $L$ es un espacio topológico localmente compacto Hausdorff con al menos dos puntos. Concluimos demostrando que un espacio de Banach $X$ cuyos módulos tienen el valor máximo posible para algún valor de $\delta$ en (0,2), debe contener una copia casi isométrica del espacio real $\ell_\infty^{(2)}$. Sin embargo, uno no puede esperar que esa condición sea suficiente y damos un contraejemplo de ello. Todos estos resultados aparecen en las referencias [7], [8] y [9].

    (En inglés) This dissertation is devoted to study some aspects of the geometry of Banach spaces through the development of two different tools: rank-one numerical index of a Banach space and the Bishop-Phelps-Bollobás moduli of a Banach space. These tools are completely independent and that is the reason for this study to be divided into two chapters which are developed individually.

    We devote the first chapter of this dissertation to study the concept of rank-one numerical index of a Banach space, which appeared recently in [1] to relate the numerical radius and the usual norm of rank-one operators on $L_p$-spaces. This concept is an analogue to the classical numerical index of a Banach space, which was introduced by G.Lumer in 1970 [2]. We prove that there exists a lower bound for the rank-one numerical index which is also valid in real case, more concretely, we prove that it is always greater than or equal to 1/e. We also study some stability properties of the rank-one numerical index concerning suitable sums of Banach spaces, as well as the continuity of the index with respect to the Banach-Mazur distance. We present some interesting examples involving the rank-one numerical index of a space and the one of its dual. Besides, we construct some examples which relate the rank-one numerical index with some other natural indices that one may consider. All these results can be found in a joint work with M. Martín and J. Merí [3]. We also compute the rank-one numerical index for some families of polyhedral norms on the plane [4]. In the last part of the first section we present some small advances about the computation of the rank-one numerical index of L_p spaces.

    The second chapter is devoted to study two functions that can be defined for every Banach space which, roughly speaking, give a measure of what is the best possible Bishop-Phelps-Bollobás Theorem that can be achieved in a fixed Banach space. The classical Bishop-Phelps theorem [5] states that the set of norm attaining functionals on a Banach space is norm dense in the dual space. Some years later, B. Bollobás [6] gave a sharper version of this theorem allowing to approximate at the same time a functional and a vector in which it almost attains the norm. This classical result is the starting point of our study. The main tools that we use are two functions which we call Bishop-Phelps-Bollobás moduli of a Banach space. We prove there is a common upper bound for the Bishop-Phelps-Bollobás moduli which is in fact sharp: they are always less than or equal to $\sqrt{2\delta}$ for every $\delta$ in (0,2). We also study some properties of the moduli. Namely, we stablish the relationship of the moduli of a Banach space X and those of its dual space, we prove the continuity of both moduli with respect to $\delta$ and we also show that they are continuous with respect to the Banach-Mazur distance. We give the exact value of the moduli for Hilbert spaces and we present many examples for which the moduli reach the maximum possible value for small $\delta$'s. Among these examples we can find the spaces $L_1(\mu)$ and $C_0(L)$ where $\mu$ is a positive measure and $L$ is a locally compact Hausdorff topological space with at least two points. We conclude showing that a Banach space $X$ satisfying that the moduli reach the maximun possible value, namely $\sqrt{2\delta}$ for some $\delta$ in (0,2), must contain almost isometric copies of the real space $\ell_\infty^{(2)}$. However, one cannot expect that condition is enough and we give a counterexample. All these results appear in the references [7], [8], and [9].

    [1] M. Martín, J. Merí, and M. Popov, On the numerical radius of operators in Lebesgue spaces, J. Funct. Anal. 261 (2011), 149--168.

    [2] J. Duncan, C. M. McGregor, J. D. Pryce and A. J. White, The numerical index of a normed space, J. London Math. Soc. 2 (1970), 481–488.

    [3] M. Chica, M. Martín and J. Merí, Numerical radius of rank-one operators on Banach spaces, Q. J. Math., 65 (2014), 89--100.

    [4] M. Chica, and J. Merí, Rank-1 numerical index of some families of norms on the plane, Linear Multilinear A. 63 (2015), 1817--1828.

    [5] E. Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961), 97--98.

    [6] B. Bollobás, An extension to the theorem of Bishop and Phelps, Bull. London Math. Soc. 2 (1970), 181--182.

    [7] M. Chica, V. Kadets, M. Martín, S. Moreno-Pulido, F. Rambla-Barreno, Bishop-Phelps-Bollobás moduli of a Banach space. J. Math. Anal. Appl. 412 (2014), no. 2, 697–719.

    [8] M. Chica, V. Kadets, M. Martín, J. Merí, M. Soloviova, Two refinements of the Bishop-Phelps-Bollobás modulus. Banach J. Math. Anal. 9 (2015), no. 4, 296–315.

    [9] M. Chica, V. Kadets, M. Martín, J. Merí, Further properties of the Bishop-Phelps-Bollobás moduli. Mediterranean J. Math. (to appear). Doi:10.1007/s00009-016-0678-8