Resumen de Non-commutative symplectic NQ-geometry and Courant algebroids
David Fernández Alvarez
En esta tesis proponemos una noción de algebroide de Courant no conmutativo que satisface el principio de Kontsevich–Rosenberg, según el cual una estructura sobre un álgebra asociativa tiene significado geométrico si induce las estructuras geométricas estándar sobre sus espacios de representaciones. Reemplazando los campos vectoriales sobre variedades por las derivaciones dobles de Crawley-Boevey sobre álgebras asociativas, este principio ha sido aplicado con éxito por Crawley- Boevey, Etingof y Ginzburg para estructuras simplécticas, y por Van den Bergh para estructuras de Poisson.
Los algebroides de Courant, introducidos por Liu, Weinstein y Xu, generalizan la noción de doble de Drinfeld a bialgebroides de Lie, y axiomatizan las propiedades del corchete de Courant definido por Courant y Weinstein para dotar de un contexto geométrico a la teoría de Dirac de sistemas mecánicos con ligaduras. Un enfoque directo para definir algebroides de Courant no es posible porque las identidades de Cartan no se conocen en el cálculo de formas diferenciales no conmutativas y derivaciones dobles, así que en esta tesis seguimos un método indirecto.
Las NQ-variedades simplécticas son variedades graduadas no negativamente (la graduación se llama peso), dotadas con una estructura simpléctica graduada y un campo vectorial homológico Q de peso 1. Estas estructuras codifican estructuras de algebroide de Lie de orden superior en el formalismo de Batalin–Vilkovisky en Física, donde los pesos tienen en cuenta el número fantasma. Siguiendo ideas de Ševera, Roytenberg probó que las NQ-variedades simplécticas de pesos 1 y 2 están en correspondencia 1-1 con variedades de Poisson y algebroides de Courant, respectivamente. Nuestro método para construir algebroides de Courant no conmutativos consiste en adaptar este resultado a una versión graduada del formalismo de Crawley-Boevey, Etingof, Ginzburg.
Empezamos generalizando a álgebras asociativas graduadas las teorías de formas bi-simplécticas y corchetes dobles de Poisson de Crawley-Boevey–Etingof– Ginzburg y Van den Bergh, respectivamente. En este contexto, probamos teoremas de Darboux adecuados para formas bi-simplécticas, definimos NQ- álgebras bi-simplécticas, y probamos una correspondencia 1-1 entre NQ-álgebras bi-simplécticas apropiadas de peso 1 y álgebras de Poisson dobles de Van den Bergh. Entonces usamos algebroides de Lie y de Atiyah adecuados para describir álgebras N-graduadas de peso 2 cuyas álgebras graduadas subyacentes son álgebras de caminos de carcajs graduados, en términos de emparejamientos de Van den ixBergh sobre bimódulos proyectivos. Usando corchetes derivados no conmutativos, calculamos la estructura algebraica que corresponde a NQ-álgebras bi-simplécticas de este tipo. Por analogía con la correspondencia de Roytenberg para álgebras conmutativas, llamaremos a esta estructura un álgebra de Courant–Dorfman doble.
