Instabilities in geophysical fluid dynamics: the influence of symmetry and temperature dependent viscosity in convection
Author
Curbelo Hernández, JezabelAdvisor
Mancho, Ana MaríaEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2014-04-25Subjects
Dinámica de fluidos - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 25-04-2014Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
Spectral numerical methods are proposed to solve the time evolution of a convection problem in a 2D
domain with viscosity strongly dependent on temperature. We have considered periodic boundary conditions
along the horizontal coordinate which introduce the O(2) symmetry into the setting. This motivates
the use of spectral methods as an approach to the problem. The analysis is assisted by bifurcation techniques
such as branch continuation, which has proven to be a useful, and systematic method for gaining
insight into the possible stationary solutions satis ed by the basic equations. Several viscosity laws which
correspond to di erent dependences of the viscosity with the temperature are investigated. Numerous
examples are found along the branching diagrams, in which stable stationary solutions become unstable
through a Hopf bifurcation. In the neighborhood of these bifurcation points, the scope of our techniques is
examined by exploring transitions from stationary regimes towards time dependent regimes.
Our study is mainly focused on viscosity laws that model an abrupt transition of viscosity with temperature.
In particular, both a smooth and a sharp transition are explored. Regarding the stationary
solutions, the way in which di erent parameters in the viscosity laws a ect the formation and morphology
of thermal plumes is discussed. A variety of shapes ranging from spout to mushroom shaped are found.
Some stationary stable patterns that break the plume symmetry along their vertical axis are detected,
as well as others that correspond to non-uniformly distributed plumes. The main di erence between the
solutions observed for the smooth and sharp transition laws is the presence in the latter case of a stagnant
lid, which is absent in the rst law. In both cases, we report time-dependent solutions that are greatly
in
uenced by the presence of the symmetry and which have not previously been described in the context of
temperature-dependent viscosities, such as travelling waves, heteroclinic connections and chaotic regimes.
Notable solutions are found for the sharp transition viscosity law in which time-dependent solutions alternate
an upper stagnant lid with plate-like behaviors that move either towards the right or towards the left.
This introduces temporary asymmetries on the convecting styles. This kind of solutions are also related
to the presence of the O(2) symmetry and constitute an example of a plate-like convective style which is
not linked to a subduction process. These ndings provide an innovative approach to the understanding
of convection styles in planetary interiors and suggest that symmetry may play a role in describing how
planets work.
Finally, the centrifugal and viscosity e ects in a rotating cylinder with large Prandtl number are
numerically studied in a regime where the Coriolis force is relatively large. Our focus is on aqueous
mixtures of glycerine with mass concentration in the range of 60%-90%, and Rayleigh number values that
extend from the onset, where thermal convection is in the so-called wall modes regime, in which pairs of hot
and cold thermal plumes ascend and descend in the sidewall boundary layer, to values in which the bulk
uid region is also convecting. The mean viscosity, which varies faster than exponentially with variations
in the percentage of glycerine, leads to a faster than exponential increase in the Froude number for a xed
Coriolis force, and hence an enhancement of the centrifugal buoyancy e ects with signi cant dynamical
consequences are described. En esta tesis proponemos métodos numéricos espectrales, para resolver la evolución temporal de un
problema de convección en un dominio 2D con viscosidad fuertemente dependiente de la temperatura.
Las condiciones de contorno periódicas a lo largo de la coordenada horizontal introducen la simetría O(2)
en el problema lo que motiva el uso de métodos espectrales en este contexto. Realizamos un análisis de
las soluciones mediante técnicas propias de la teoría de bifurcaciones, y constatamos que son un método
útil y sistemático para describir el panorama de las soluciones estacionarias que satisfacen las ecuaciones
básicas. Investigamos varias leyes de viscosidad que corresponden a diferentes dependencias de ésta con la
temperatura. A lo largo de los diagramas de bifurcación se encuentran numerosos ejemplos en los que la
solución estacionaria estable se vuelve inestable a través de una bifurcación Hopf. En las proximidades
de esos puntos examinamos el alcance de nuestras técnicas, explorando la transición desde regímenes
estacionarios a regímenes dependientes del tiempo.
Nuestro estudio se centra principalmente en las leyes de la viscosidad que modelan una transición
abrupta de la viscosidad con la temperatura. En particular, se exploran tanto una transición suave como
una brusca. En cuanto a las soluciones estacionarias, se discute como los diferentes pará metros en las
leyes de viscosidad afectan a la formación y la morfología de las plumas térmicas. Se encuentran una
variedad de la formas que van desde forma de protuberancia (\spout") a la forma de seta. Se detectan
algunos patrones de soluciones estacionarias estables que rompen la simetría de la pluma a lo largo de
su eje vertical y otros que se corresponden con plumas distribuidas de manera no uniforme. La principal
diferencia entre las soluciones observadas para las leyes de transición suave y brusca es la presencia, con
esta última ley, de una capa estancada que no está presente con la primera. En ambos casos mostramos
soluciones dependientes del tiempo que están muy influenciadas
por la presencia de la simetría y que no se
han descrito previamente en el contexto de convección con viscosidad dependiente de la temperatura. Estas
soluciones son por ejemplo ondas viajeras, conexiones heteroclínicas y regímenes caótico. Para transiciones
bruscas de la ley de viscosidad destacan soluciones dependientes del tiempo, en las que se alternan una
capa superior estancada, con una capa o placa que se mueve rígidamente hacia la derecha o la izquierda.
Esto introduce estilos de convección que son asimétricos en el tiempo. Este tipo de soluciones también están
relacionadas con la presencia de la simetría O(2) y constituyen un ejemplo de convección en forma de placa
que no est a vinculada a un proceso de subducción. Estos resultados aportan un enfoque innovador para la
comprensión de estilos de convección en el interior de planetas y sugieren que la simetría puede desempeñar
un papel importante en la descripción de como funcionan.
Por último, se estudian numéricamente los efectos centrífugos en un cilindro que rota, en un régimen
en el que la fuerza de Coriolis es relativamente grande y en el que el
fluido tiene un número de Prandtl
alto. Nuestra atención se centra en mezclas acuosas de glicerina con concentraciones de masa en el intervalo
de 60 %-90% y valores de número de Rayleigh que se extienden desde el inicio de la convección térmica;
que son el denominado régimen de modos de pared, donde pares de plumas calientes y frías ascienden y
descienden en la capa límite de la pared lateral; hasta valores en los que la convección está completamente
desarrollada en toda la celda. El aumento de la viscosidad media, que varía con el porcentaje de glicerina
considerado, conduce, para una fuerza de Coriolis ja, a un aumento en el n mero de Froude y por lo tanto,
a un incremento de los efectos centrífugos para los que describimos su impacto en la dinámica.
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Bifurcations and dynamics in convection with temperature-dependent viscosity in the presence of the O(2) symmetry
Curbelo, J.; Mancho, A. M.
2013-10-14