Mañana, JUEVES, 24 DE ABRIL, el sistema se apagará debido a tareas habituales de mantenimiento a partir de las 9 de la mañana. Lamentamos las molestias.
Geometric and numerical methods for optimal control of mechanical systems
Author
Colombo, Leonardo JesúsAdvisor
Martín de Diego, DavidEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2014-06-03Subjects
Control automático - Tesis doctorales; Geometría diferencial - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matermáticas. Fecha de lectura: 03-06-2014Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
Las aplicaciones de técnicas provenientes de la Geometría Diferencial moderna y la
Topología han ayudado a una mayor comprensión de los problemas provenientes de la teor ía
de Sistemas Dinámicos. Estas aplicaciones han reformulado la mecánica analítica y cl ásica
en un lenguaje geométrico que junto a nuevos métodos analíticos, topológicos y numéricos
conforman una nueva area de investigación en matemáticas y física teórica llamada Mecánica
Geométrica.
La Mecánica Geometrica se configura como un punto de encuentro de disciplinas diversas
como la Mecánica, la Geometría, el Análisis, el Álgebra, el Análisis Numérico, las Ecuaciones
en Derivadas Parciales... Actualmente, la Mecánica Geométrica es un área de investigación
pujante con fructíferas conexiones con otras disciplinas como la Teoría de Control no-lineal
y el Análisis Numérico.
El objetivo de la Teoría de Control es determinar el comportamiento de un sistema
dinámico por medio de acciones externas de forma que se cumplan ciertas condiciones prefi
jadas como, por ejemplo, que haya un extremo fijo, los dos, que ciertas variables no alcancen
algunos valores u otro tipo de situaciones más o menos complicadas. Las aplicaciones de la
Mecánica Geométrica en Teoría de Control han causado grandes progresos en esta área de
investigación. Por ejemplo, la formulación geométrica de los sistemas mecánicos de control
sujetos a ligaduras no holónomas han ayudado a la comprensión de problemas en locomoción,
contrabilidad y planificación de trayectorias, problemas de control con obstáculos e interpolación
Uno de los mayores objetivos del Análisis Numérico y de la Matemática Computacional ha
sido traducir los fenómenos físicos en algoritmos que producen aproximaciones numéricas
suficientemente precisas, asequibles y robustas. En los últimos años, el campo de la Integración
Geométrica surgió con el objetivo de diseñar y analizar métodos numéricos para ecuaciones
diferenciales ordinarias y, m as recientemente, para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales,
que preservan, tanto como sea posible, la estructura geométrica subyacente.
La Mecánica Discreta, entendida como el punto de encuentro de la Mecánica Geométrica y
la Integración Geométrica, es un área de investigación bien fundamentada y una herramienta
poderosa a la hora de entender los sistemas dinámicos y físicos, más concretamente, aquellos
relacionados con la Mecánica y la Teoría de Control. Una herramienta clave en Mecánica
Discreta, y muy utilizada en este trabajo, son los integradores variacionales, i.e., integradores
geométricos basados en la discretización de los principios variacionales.
El presente trabajo de investigación incluye nuevos resultados en el área de la Mecánica
Geométrica que permiten el estudio de sistemas mecánicos, su aplicación a la teoría de control
óptimo y la construcción de integradores geométricos que preservan ciertas estructuras subyacentes
de gran interés para el análisis numérico de los sistemas de control. Más precisamente,
presentamos una nueva formulación geométrica para la dinámica de sistemas mecánicos de
orden superior sujeto a ligaduras, también de orden superior, debido a que un problema
de control óptimo de sistemas mecánicos puede ser resuelto como un problema variacional
de orden superior con ligaduras de orden superior. Hemos estudiado la relación entre los
sistemas Lagrangianos de orden superior con ligaduras (noholónomas y vakónomas) y los
sistemas Hamiltonianos asociados, la reducción por simetrías de esta clase de sistemas y la
integración geométrica de problemas de control. El trabajo desarrollado en esta tesis también
contribuye con nuevos desarrollos en Mecánica Discreta y su interrelación con la teoría de
control, algebroides de Lie y grupoides de Lie. The applications of techniques from the modern Di erential Geometry and Topology have
helped a new way of understanding the problems which come from the theory of Dynamical
Systems. These applications have reformulated the analytic mechanics and classical mechanics
in a geometric language which attracted new analytic, topologic and numerical methods
given rise to a new research line in mathematics and theoretical physics, called Geometric
Mechanics.
Geometric Mechanics is a meeting point for di erent areas such as, Analysis, Algebra,
Numerical Analysis, Partial Di erential Equations... Currently, Geometric Mechanics is a
research area with a strong relationship with Nonlinear Control Theory and Numerical Analysis.
The applications of Geometric Mechanics in control theory have given great progress in
this area. For example, the geometric formulation of mechanical systems subject to nonholonomic
constraints has helped the understanding of problems in locomotion, controllability
and trajectory planning, control problems with obstacles and interpolation problems.
One of the main goals of the numerical analysis and computational mathematics has been
rendering physical phenomena into algorithms that produces su ciently accurate, a ordable,
and robust numerical approximations. In the last years, the eld of Geometric Integration
arose to design and to analyze numerical methods for ordinary di erential equations and,
more recently, for partial di erential equations, that preserves exactly, as much as possible,
the underlying geometrical structures.
The Discrete Mechanics, understood as the con
uence of Geometric Mechanics and Geometric
Integration, is both a well-founded research area and a powerful tool in the understanding
of dynamical and physical systems, more concretely of those related to mechanics.
A key tool of Discrete Mechanics, which has been strongly used in this work, is the variational
integrators, i.e., geometric integrators for mechanical problems based on the discretization of
variational principles.
The work developed in this thesis includes new valuable developments in Geometric Mechanics
which permits the understanding about mechanical systems, its applications in control
theory and the construction of geometric integrators which preserves underlying geometrical
structures of great interest to the numerical analysis of control systems. More precisely, we
give a new geometric formulation for the dynamics of higher-order mechanical systems subject
also to higher-order constraints since an optimal control problem for mechanical systems
can be seen as higher-order variational problem with higher-order constraints. We have studied
the relation between higher-order Lagrangian systems with constraints (nonholonomics
and vakonomics) and higher-order Hamiltonian systems, the reduction by symmetries of this
kind of mechanical systems and the geometric integration of control problems. The work
developed in this thesis also is in line with new developments in Discrete Mechanics and its
relation with control theory, Lie groupoids and Lie algebroids
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