Resumen de Transformaciones multiescala no lineales
José Jaime Noguera Noguera
La transformada wavelet y la multirresolución à la Harten son dos herramientas matemáticas que han sido aplicadas con éxito al tratamiento de señales digitales. En los últimos años, este campo ha experimentado un creciente interés debido a sus múltiples aplicaciones como, entre otras, la compresión de imágenes, eliminación de ruido, reconocimiento de patrones, recuperación de fotografías, en campos tan diversos como la Informática, Física, Medicina o Ingeniería. Iniciamos esta tesis con la revisión de estos conceptos. En 1993 A. Harten, [A. Harten. Discrete multiresolution analysis and generalized wavelets. J. Appl. Numer. Math., 12:153�192 (1993)], generaliza un cierto tipo de wavelets biortogonales tomando ideas de tres campos diferentes: la teoría de funciones wavelet, la solución numérica de ecuaciones en derivadas parciales y los esquemas de subdivisión. En dicha formulación surgen nuevos operadores que permiten introducir no linealidad en el proceso de recuperación de datos de la escala más fina (reconstrucciones). Surgen así una serie de técnicas que mejoran las aproximaciones en presencia de discontinuidades como ENO (Essentially Non-Oscillatory, [A. Harten, B. Engquist, S. Osher, and S. Chakravarthy. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes III. J. Comput. Phys, 71:231�303, (1987)]), SR (Subcelde Resolution, [A. Harten. ENO schemes with subcell resolution. J. Comput. Phys., 83:148�184, (1989)]) y más recientemente WENO (Weighted ENO, [Xu-Dong Liu, S. Osher, and T. Chan. Weighted essentially non-oscillatory schemes. J. Comput. Phys., 115(1):200�2012, (1994)]) y PPH (Piecewise Polynomial Harmonic, [S. Amat, R. Donat, J. Liandrat, and J.C. Trillo. Analysis of a new non-linear subdivision scheme. Applications in Image Processing. Foundations of Computational Mathematics, 6(2):193�225, (2006)]). Hemos prestado especial atención al cálculo de filtros de todas las reconstrucciones incluyendo los filtros de las funciones intermedias que surgen en cada esquema. Dichos filtros suelen calcularse a partir de la forma de Newton del polinomio interpolador, pero nosotros lo hemos realizado mediante productos matriciales, lo cual simplifica el proceso para su generalización. En los esquemas de multirresolución à la Harten normalmente se utilizan reconstrucciones interpolatorias. En este trabajo nos hemos plantedo crear reconstrucciones que combinen interpolación y aproximación, diseñando una nueva reconstrucción, que denominamos interpoalción aproximación, y adaptando los mínimos cuadrados a este contexto, denominándola reconstrucción por aproximaciones. Para cada recosntrucción hemos estudiado sus propiedades, su posible inclusión en esquemas de multirresolución à la Harten, hemos aplicado técnicas no lineales (cuando ha sido posible) y calculado sus filtros. La transformada wavelet resulta especialmente eficiente para extraer información de señales no periódicas, ya que se caracteriza por estar localizada en tiempo y frecuencia, a diferencia de la clásica transformada de Fourier, que únicamente lo está en frecuencia. La transformada wavelet permite dividir la señal de partida en dos subseñales, donde la primera de ellas puede entenderse como una copia de la original a menor resolución y la segunda contiene los detalles necesarios para recuperar la señal original. Esta idea puede iterarse aplicando de nuevo la transformada a la primera subseñal. Si la señal es suave, dichos detalles (coeficientes de altas frecuencias) son de pequeña magnitud y podemos eliminarlos sin una gran pérdida de información, obteniendo así una gran capacidad de compresión. Al aplicar la transformada wavelet a funciones discontinuas compuestas por trozos suaves, surgen coeficientes de altas frecuencias de magnitud elevada debido al uso de stencils que cruzan discontinuidades. En el año 2000 Chan y Zhou presentan en [T. F. Chan and H. M. Zou. ENO-wavelet transforms for piecewice smooth functions. SIAM J. Numer. Anal., 40(4):1369�1404, (1994)] la transformada ENO-wavelet donde se modifica el cálculo de los coeficientes tomando como base la idea ENO, consistente en seleccionar para cada intervalo un stencil que no cruce discontinuidades. Con esto se introducen evidentes mejoras ya que no se crean valores elevados en los coeficientes de altas frecuencias, manteniéndose el orden de aproximación para funciones discontinuas, bajo ciertos requisitos, como una correcta localización de las discontinuidades y una suficiente separación de las mismas. Además se consigue preservar el tamaño de las secuencias de entrada y salida dando lugar al mismo tipo de algoritmo piramidal, con un coste computacional extra despreciable. En este trabajo hemos introducido cambios en la manera de calcular dichos coeficientes lo cual proporcionará diversas ventajas, siendo la más destacable la generalización para orden arbitrario de la transformada ENO-wavelet con la base Daubechies. La localización de discontinuidades en señales digitales es otro campo de estudio con múltiples aplicaciones, siendo especialmente importante en esta tesis como paso previo a la aplicación de diversos algoritmos. Es por ello que dedicaremos un capítulo al estudio y diseño de métodos de detección de discontinuidades tanto para funciones con ruido como sin él. La introducción de reconstrucciones no exclusivamente interpolatorias nos hace plantearnos la hipótesis de su posible aplicación a la eliminación de ruido. En primer lugar hemos trabajado con esquemas de un sólo nivel de resolución, revisando los trabajos de D. Mizrachi, [D. Mizrachi. Remoiving Noise from Discontinous Data. PhD thesis, School of Mathematical Sciences. Applied Math Departament, (1991)], y diseñando nuevos algoritmos. En segundo lugar hemos trabajado con métodos multiescala, aplicando los esquemas de multiresolución à la Harten con este objetivo (tanto con reconstrucciones interpolatorias como con nuestras nuevas reconstrucciones) y revisando los habituales esquemas wavelet (Wavelet Shrinkage Denoising, ver p.ej. [D. L Donoho. Denoising via soft thresholding. IEEE Transactions on Information Theory, 41:613�627, (1995)]). Hemos combinado varias de estas ideas y hemos comparado los diversos métodos, concluyendo que no existe uno superior a los demás sino que la elección dependerá de los datos iniciales y de los objetivos perseguidos.
