Estudio de las propiedades de aproximación de espacios invariantes por traslaciones a través de la función espectral

• Autores: Moisés Soto Bajo
• Directores de la Tesis: Kazaros Kazarian (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2012
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Eugenio Hernández Rodríguez (presid.) , Patricio Cifuentes (secret.) , Javier Soria de Diego (voc.) , Vladimir N. Temlyakov (voc.) , Óscar Blasco de la Cruz (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: digitool-uam.greendata.es
• Resumen

  • Esta memoria reúne el resultado de las investigaciones del autor realizadas en los últimos años en los campos de la Teoría de espacios invariantes por traslaciones, análisis multirresolucionales y ondículas. Se ha intentado elaborar una obra que de forma coherente y sencilla realice un "estudio de las propiedades de aproximación de espacios invariantes por traslaciones a través de la función espectral", como reza su título.

    Con esto nos referimos a lo siguiente 1: consideramos ciertos operadores (denominados "operadores de dilatación") y nos concentramos en la sucesión de transformados por estos operadores de un espacio invariante por traslaciones.

    Como estos operadores son unitarios en los espacios en los que trabajamos, por sucesión entendemos tanto los transformados por el operador como los transformados por su inverso, por lo que podemos considerar que nuestros espacios están indexados sobre los números enteros.

    En primer lugar, cuando nuestro espacio inicial (o "espacio núcleo") es refinable, estas estructuras son conocidas como "análisis multirresolucionales generalizados" cuando cumplen ciertas propiedades, conocidas como propiedades de intersección y de completitud. Concluimos que la función espectral del espacio núcleo nos da información relevante, y en gran parte de los casos concluyente, sobre estas dos propiedades. Por otro lado, se han estudiado las propiedades de aproximación de estas sucesiones, asociadas a espacios no necesariamente refinables, dándose tanto condiciones necesarias como su- ficientes para que estas sucesiones proporcionen ciertos órdenes de aproximaci ón o densidad en términos explícitos de la función espectral.

    Nuestro objetivo ha sido mejorar nuestra comprensión de algunas cuestiones largamente estudiadas, en mayor o menor generalidad, intentando ofrecer una visión ámplia y simplificada. Para ello hacemos uso de numerosos avances aportados por multitud de investigadores a lo largo de varias dé- cadas de intenso trabajo. No en vano la Teoría de espacios invariantes por traslaciones ha demostrado ser una herramienta importante tanto en Teoría de aproximación como en Análisis de elementos finitos, ya que ofrece un mar- co teórico común a objetos tan diversos como los splines, funciones básicas radiales, ondículas o sistemas de Gabor (consultar [53], [54], [17], [125]). Uno de estos avances, la función espectral, es la herramienta principal en nuestros análisis.