Resumen de Estabilitat efectiva i tors invariants de sistemes hamiltonians quasi-integrables
- català
La memòria recull contribucions a diversos aspectes del problema de lestabilitat en sistemes hamiltonians quasi-integrables. Aquests aspectes inclouen resultats destabilitat efectiva, que comporten el confinament de trajectòries durant un interval de temps molt gran, i també resultats que estableixen lexistència de tors invariants, entre els quals distingim els tors KAM i tors de dimensió inferior.
Considerem un sistema hamiltonià quasi-integrable, amb "n" graus de llibertat, en el qual la mida de la pertorbació és "Epsilon". Malgrat la possibilitat de difusió en aquest tipus de sistemes, els teoremes de Nekhoroshev i KAM (KolmogorovArnoldMoser) són resultats molt valuosos que asseguren certs tipus destabilitat. Amb tot, les proves habituals daquests teoremes no posen en relleu la profunda relació que existeix entre els diferents tipus destabilitat a què donen lloc. Gran part de la memòria és dedicada doncs a donar un enfocament unificat per als dos teoremes.
Després dun capítol dintroducció, al capítol 2 descrivim el mètode seguit per a la prova dambdós teoremes, consistent a construir iterativament una transformació canònica que porti el hamiltonià de partida a una forma normal que depengui de menys angles. Per a lobtenció de la forma normal fem ús del formalisme de les sèries de Lie, que descrivim a la secció 2.1. Aquest és un procediment molt apropiat per a aplicacions pràctiques, perquè permet dur a terme càlculs explícits en exemples concrets, i pot ésser directament implementat en ordinadors. Per tal devitar lefecte causat pels petits divisors, prop de la ressonància associada a un mòdul fixat acceptem que la forma normal pugui dependre de certes combinacions dangles. De fet només cal considerar ressonàncies fins a un ordre finit apropiat, ja que lefecte de les ressonàncies dordre més alt és exponencialment petit. Basant-nos en el mètode de les sèries de Lie, construïm el procés iteratiu, el qual és finit en la prova del teorema de Nekhoroshev i infinit per al teorema KAM (en aquest darrer cas, sempre prenem el mòdul nul). De fet, descrivim un algorisme lineal i un de quadràtic. Tot i que lalgorisme lineal és daparença més senzilla, mostrem que el càlcul explícit de la forma normal podria ésser una mica més ràpid usant lalgorisme quadràtic.
A les seccions 2.3 i 2.4 obtenim les versions lineal i quadràtica del lema iteratiu, que ens donen les fites per a un pas concret del procés iteratiu en cadascun dels dos algorismes. Utilitzem una norma per a camps vectorials hamiltonians (introduïda a la secció 2.2), la qual ens permet doptimitzar les fites respecte les daltres autors. Duent a terme un nombre adequat de passos, i aplicant reiteradament el lema iteratiu (en qualsevol de les seves dues versions), obtenim a la secció 2.5 el teorema de la forma normal, en el qual la fita de la resta és exponencialment petita. La prova daquest resultat esdevé molt simple degut al fet que el lema iteratiu ha estat optimitzat.
Al capítol 3 obtenim, a partir del teorema de la forma normal, la prova del teorema de Nekhoroshev en el cas quasiconvex. En primer lloc, donem a les seccions 3.1 i 3.2 fites destabilitat vàlides sobre regions no ressonants i regions ressonants, respectivament (per al cas ressonant imposem la condició de quasiconvexitat). A la secció 3.3 recobrim tot lespai de fases amb una família de conjunts, que reben el nom de blocs, associats a diferents mòduls de ressonàncies. Així obtenim a la secció 3.4 un temps destabilitat exponencialment gran en 1/Epsilon. per a totes les trajectòries, completant la prova del teorema de Nekhoroshev amb lexponent òptim 1/2"n".
Obtenim també al capítol 3 altres resultats sobre estabilitat efectiva. Hem considerat a la secció 3.1 una pertorbació dun sistema de "n" oscilladors harmònics amb freqüències satisfent una condició diofàntica. En aquest cas lexponent de les fites és 1/(Tau + 1), essent Tau lexponent de la condició diofàntica. A la secció 3.5 veiem que podem millorar les fites de Nekhoroshev si ens restringim a un entorn de la ressonància associada a un mòdul fixat, i obtenim uns exponents destabilitat particulars, que depenen de la dimensió del mòdul. A més, apliquem aquestes fites al conegut exemple dArnold.
Al capítol 4 provem la versió isoenergèica de teorema KAM de manera directa sense usar aplicació de Poincaré) i introduïm la noció de tor quasi-invariant. Comencem veient a la secció 4.1 les dificultats que sorgeixen en el cas isoenergètic, i les resolem amb els lemes tècnics que donem a la secció 4.2. El mètode iteratiu que usem per a provar el teorema KAM isoenergètic és parallel, en línies generals, al que usa Arnold en el cas ordinari. A la secció 4.3 donem fites per a un pas concret del procés a partir del lema iteratiu. A la secció 4.4 completem la prova del teorema KAM isoenergètic, veient que les restes tendeixen ràpidament cap a zero i obtenint tors invariants "n"-dimensionals (tors KAM), però només sobre un conjunt cantorià que ve donat per freqüències diofàntiques.
A més, obtenim a la secció 4.5 un resultat destabilitat que constitueix un pont entre els teoremes KAM i de Nekhoroshev. Cal considerar les freqüències que satisfan aproximadament una condició diofàntica, fins una precisió donada "r". Aquestes freqüències donen lloc a tors quasi-invariants, noció que expressa que les trajectòries que parteixen dun daquests tors hi romanen a prop durant un temps exponencialment gran en 1/"r". Així, la precisió "r" passa a constituir el paràmetre de pertorbació (per a "r" = 0 tenim els tors KAM). Obtenim aquest resultat dins del mateix esquema iteratiu usat per al teorema KAM però aturant-lo en el moment adequat, en comptes de dur-lo fins al límit. El resultat és molt proper, des del punt de vista quantitatiu, al teorema KAM. Qualitativament, sacrifiquem lestabilitat perpètua dels tors KAM però, en canvi, tenim un resultat més significatiu des del punt de vista pràctic, ja que per tal dassociar un tor quasi-invariant a una freqüència donada només cal comprovar la condició diofàntica aproximadament. Aquest resultat és lleugerament diferent dels daltres autors, que estableixen que els tors KAM són enganxosos (prenent com a paràmetre la distància a un tor KAM fixat). El nostre resultat és més útil a la pràctica, car no requerim lexistència prèvia dun tor KAM.
Estudiem a la secció 4.6 lexistència de tors invariants per a un hamiltonià a lentorn dun punt fix ellíptic. Sota les condicions adequades, el teorema KAM ens diu que en un entorn de radi "r" existeix un gran nombre de tors invariants. Fins i tot, si les freqüències del punt ellíptic satisfan una condició diofàntica, llavors la mesura del complementari dels tors invariants és exponencialment petita en 1/"r".
Al capítol 5 estudiem els tors invariants de dimensió inferior prop de la ressonància associada a un mòdul de dimensió "d < n". La localització daquests tors, especialment els tors hiperbòlics, és important com a primer pas per a establir lexistència de difusió dArnold al llarg duna cadena de transició. En primer lloc, posem el hamiltonià en forma normal respecte el mòdul fixat i la resta és petita. Fent un canvi canònic lineal (secció 5.2), podem suposar que la part en forma normal només depèn de "d" angles. Menyspreant la resta, fem un estudi de la forma normal, la qual constitueix un sistema intermedi entre el hamiltonià no pertorbat i el hamiltonià pertorbat. A la secció 5.1 donem condicions per tal que la forma normal tingui tors invariants de dimensio "n-d", els quals poden ésser ellíptics, hiperbòlics i daltres categories. Considerem a la secció 5.3 el cas duna ressonància simple ("d"=1), en el qual la forma normal és integrable i per tant podem dur a terme un estudi complet de les varietats invariants dels tors hiperbòlics i les connexions homoclíniques que tenen lloc. Remarquem que, si bé lexistència dels tors hiperbòlics per al sistema original ha estat establerta per altres autors, cal esperar que aquests tors es trobin molt a prop dels de la forma normal si aquesta ha estat obtinguda fins un ordre prou alt. Llavors podem obtenir més informació sobre les varietats invariants.
- English
The main results concerning stability in nearly-integrable Hamiltonian systems are revisited: Nekhoroshev theorem (effective stability) and KAM theorem (existence of invariant tori). We prove both theorems using a common method, which allows to stress the close relationship between them.
The method consists of bringing our Hamiltonian to normal form using an iterative procedure based on Lie series. We describe two algorithms (linear and quadratic) which can both be directly implemented in computers. To give estimates for the remainder of the normal form along the iterative process, we use a vectorfield norm which allows to optimize the estimates.
Iterating these estimates an appropiate (finite) number of steps, we get an exponentially small remainder. Assuming quasiconvexity, we get Nekhoroshev theorem (with the optimal exponent). Further results on effective stability are also obtained.
We prove the isoenergetic version of KAM theorem in a direct way (without using a Poincaré map). In this case, in order to make the remainder tend to zero, we consider an infinite iterative process. In this way the majority of trajectories lie in invariant tori, but these tori fill a Cantorian set given by Diophantine frequencies. Moreover, we introduce the notion of nearly-invariant torus by stopping the process at an appropiate step. We associate a nearly-invariant torus to the frequencies satisfying, up to a given precision, a Diophantine condition (the precision becomes the parameter of perturbation). We also prove the existence of a large number of invariant tori near an elliptic fixed point with Diophantine frequencies: we give for the complement of the invariant tori an exponentially small estimate.
Finally, we study low dimensional tori near resonances and the invariant manifolds of hyperbolic tori near simple resonances. This constitutes a first step towards finding Arnold diffusion in nearly-integrable Hamiltonian systems."
