Characterizations and enumerations of some classes of logical operators defined on finite chains

Abstract

[cat] L'estudi de connectius lògics i funcions d'agregació definits sobre la cadena finita L_n={0,1,..., n} ha atret l'atenció de la comunitat científica des de les seves primeres etapes. La natura finita de L_n la converteix en un entorn adient per a modelar informació ordinal i qualitativa en diferents entorns aplicats. Alguns exemples notables són el processament d'imatges i els mètodes de presa de decisions que depenen d'un conjunt predefinit d'etiquetes lingüístiques. El tractament d'aquest tipus d'informació es realitza, habitualment, emprant operadors definits en L_n. Amb l'objectiu de tenir un major coneixement d'aquests, nombrosos esforços s'han dut a terme a la literatura per estudiar des d'un punt de vista teòric les seves propietats. En aquesta tesi doctoral es fa una contribució a aquest estudi teòric. En primer lloc, es mostra la necessitat de l'estudi específic d'operadors en L_n. Tot i que aquests operadors han guanyat un gran protagonisme en les darreres dècades, el seu estudi ha estat a vegades infravalorat. Això és degut, en part, al fet que el domini de definició més estès en connectius lògics i funcions d'agregació és l'interval real [0,1], donant lloc a la falsa idea que és suficient estudiar els operadors en [0,1] i després, mitjançant un procés adient de conversió a L_n, obtenir operadors en aquest domini. En aquesta tesi es consideren dos processos de conversió, denominats processos de discretització, i s'apliquen per estudiar la preservació de propietats d'implicacions borroses (definides en [0,1]) a les propietats equivalents per implicacions en L_n. Es determinen condicions necessàries i/o suficients per a aquesta preservació, i s'arriba a la conclusió que és necessari analitzar directament aquest tipus d'operadors i les seves propietats a L_n, i no com una transformació d'operadors i propietats en [0,1]. En segon lloc, es fan algunes contribucions significatives a l'enumeració d'algunes classes d'operadors en L_n. En aquest domini, el nombre d'operadors que es poden construir és finit. Tot i que a la literatura nombroses expressions es poden trobar sobre la cardinalitat d'algunes classes específiques d'operadors, continuen sent desconegudes les expressions per a altres classes de gran importància, com ara les negacions, les conjuncions, les disjuncions i les implicacions, entre d'altres. Per això, es recorre a tècniques avançades en l'enumeració d'estructures, com són les particions planes, ben conegudes dins l'àrea de combinatòria avançada, i s'obtenen enumeracions per algunes classes d'operadors en L_n aplicant algunes de les expressions ja conegudes per l'enumeració de particions planes. A més, es fa un estudi del comportament asimptòtic d'algunes de les expressions propostes, i s'introdueix una manera de quantificar com són de restrictives certes proposades a l'imposar-les a una classe d'operadors a partir del comportament asimptòtic de la seva cardinalitat. Finalment, es fa una aportació a la caracterització de les (S,N)-implicacions en L_n quan N és una negació que no és suau, una propietat que habitualment s'ha considerat com l'equivalent en L_n a la continuïtat. Es proposa una caracterització d'aquesta família d'operadors en L_n, establint que aquest problema és equivalent a la completació de t-conormes l'expressió de les quals és desconeguda en una regió de L_n^2 que depèn dels punts de no suavitat de N. S'estudien alguns casos distingits d'aquestes completacions i, a partir d'ells, es dona una segona caracterització axiomàtica de les classes de (S,N)-implicacions en L_n derivades.

[spa] El estudio de conectivos lógicos y funciones de agregación definidos sobre la cadena finita L_n={0,1,..., n} ha atraído la atención de la comunidad científica desde sus primeras etapas. La naturaleza finita de L_n la convierte en un marco adecuado para modelar información ordinal y cualitativa en diferentes escenarios aplicados. Algunos ejemplos notables son el procesamiento de imágenes y los métodos de toma de decisiones que dependen de un conjunto predefinido de etiquetas lingüísticas. El tratamiento de este tipo de información se realiza, habitualmente, usando operadores definidos en L_n. Con el objetivo de tener un mayor conocimiento de estos, numerosos esfuerzos se han realizado en la literatura para estudiar desde un punto de vista teórico sus propiedades. En esta tesis doctoral se realiza una contribución a este estudio teórico. En primer lugar, se muestra la necesidad del estudio específico de operadores en L_n. Aunque estos operadores han ganado un gran protagonismo en las últimas décadas, su estudio ha sido a veces infravalorado. Esto es debido, en parte, a que el dominio de definición más extendido en conectivos lógicos y funciones de agregación es el intervalo real [0,1], dando lugar a la falsa idea de que es suficiente estudiar los operadores en [0,1] y después, mediante un proceso adecuado de conversión a L_n, obtener operadores en este dominio. En esta tesis se consideran dos procesos de conversión, denominados procesos de discretización, y se aplican para estudiar la preservación de propiedades de implicaciones borrosas (definidas en [0,1]) a las propiedades equivalentes para implicaciones en L_n. Se presentan condiciones necesarias y/o suficientes para esta preservación, y se llega a la conclusión de que es necesario analizar directamente este tipo de operadores y sus propiedades en L_n, y no como una transformación de operadores y propiedades en [0,1]. En segundo lugar, se realizan algunas contribuciones significativas a la enumeración de algunas clases de operadores en L_n. En este dominio, el número de operadores que pueden construirse es finito. Aunque en la literatura se pueden encontrar numerosas expresiones para la cardinalidad de algunas clases concretas de operadores, siguen quedando pendientes las expresiones de otras clases de gran importancia, como las negaciones, las conjunciones, las disyunciones y las implicaciones, entre otras. Por ello, recurriendo a técnicas avanzadas en la enumeración de estructuras, como son las particiones planas, bien conocidas en el área de combinatoria avanzada, se obtienen enumeraciones para algunas clases de operadores en L_n aplicando algunas de las expresiones ya conocidas para la enumeración de particiones planas. Además, se realiza un estudio del comportamiento asintótico de algunas de las expresiones propuestas, y se introduce una manera de cuantificar cómo de restrictivas son ciertas propiedades al imponerlas en una clase de operadores mediante el comportamiento asintótico de su cardinalidad. Finalmente, se lleva a cabo una aportación a la caracterización de las (S,N)-implicaciones en L_n cuando N es una negación en L_n que no es suave, una propiedad que habitualmente se ha considerado como la equivalente en L_n a la continuidad. Se propone una caracterización de esta familia de operadores en L_n, estableciendo que este problema es equivalente a la completación de t-conormas cuya expresión es desconocida en una región de L_n^2 que depende de los puntos de no suavidad de N. Se estudian algunos casos distinguidos de estas completaciones y, a partir de ellos, se da una segunda caracterización axiomática de las clases de (S,N)-implicaciones en L_n derivadas.

[eng] The study of logical connectives and aggregation functions defined on the finite chain L_n={0,1,... , n} has attracted the attention of the scientific community since its early stages. Its finite nature makes it a suitable framework for modeling ordinal and qualitative information in different applied scenarios. Notable examples are image processing and decision-making methods that rely on a predefined set of linguistic labels. The processing of this type of information is usually performed using operators defined on L_n. In order to have a better understanding of these, numerous efforts have been made in the literature to study from a theoretical point of view their properties. This thesis presents several contributions to this theoretical study. Firstly, the need for the specific study of operators on L_n is proved. Although these operators have gained great prominence in the last decades, their study has sometimes been undervalued. This is due, in part, to the fact that the most widespread domain of definition of logical connectives and aggregation functions is the real interval [0,1], giving rise to the false idea that it is sufficient to study operators on [0,1] and then, by a suitable process of conversion to L_n, obtain operators on this domain. In this thesis two conversion processes are considered, which are called discretization processes, and are applied to study the preservation of properties of fuzzy implication functions (defined on [0,1]) to equivalent properties for implications on L_n. Necessary and/or sufficient conditions for this preservation are presented, leading to the conclusion that it is necessary to analyze directly this type of operators and their properties on L_n, and not as a transformation of operators and properties on [0,1]. Secondly, significant contributions are made to the enumeration of some classes of operators on L_n. In this domain, the number of operators that can be constructed is finite. Although numerous expressions are known in the literature for the cardinality of some particular classes, expressions for other classes of great importance, such as negations, conjunctions, disjunctions, and implications, among others, are still unknown. Therefore, by resorting to advanced techniques in the enumeration of structures, such as plane partitions, well-known in the area of advanced combinatorics, enumerations for some classes of operators on L_n are obtained applying some of the already known expressions for the enumeration of plane partitions. In addition, the asymptotic behavior of some of the proposed expressions is studied, and a way to quantify how restrictive certain properties are when imposed on a class of operators is introduced, by means of the asymptotic behavior of its cardinality. Finally, a contribution to the characterization of (S,N)-implications on L_n when N is a negation on L_n that is non-smooth, a property that has usually been considered as the equivalent on L_n to continuity, is made. A characterization of this family of operators on L_n is proposed, establishing that this problem is equivalent to the completion of t-conorms whose expression is unknown in a region of L_n^2 that depends on the non-smoothness points of N. Some distinguished cases of these completions are studied and, based on them, a second axiomatic characterization of the derived classes of (S,N)-implications on L_n is obtained.