Resumen de Técnicas basadas en lambda-simetrías para el análisis de ecuaciones diferenciales
José Mendoza Estrada
En esta tesis doctoral se emplea el método basado en la existencia de lambda-simetrías con el objetivo de obtener nuevas soluciones exactas a ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
En primer lugar, se considera una ecuación en derivadas parciales no lineal, la ecuación de Kundu-Eckhaus (KE) con coeficientes generalizados. Una transformación de onda viajera reduce la ecuación KE a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se consigue integrar completamente utilizando la teoría de las lambda-simetrías. A partir de una familia uniparamétrica de soluciones singulares de la ecuación reducida se obtiene una expresión unificada que describe una clase de soluciones para la ecuación KE que contiene, como casos particulares, a la mayoría de las soluciones exactas derivadas durante los últimos años mediante el uso de una gran variedad de poderosos métodos de integración. La solución general de la ecuación reducida permite además construir una familia biparamétrica de nuevas soluciones exactas para la ecuación KE, ampliando considerablemente las soluciones particulares que se habían obtenido hasta la fecha.
En segundo lugar, se estudia una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyo álgebra de simetría de Lie resulta insuficiente para integrarlas de forma completa. Se demuestra que, para una subclase de la familia de ecuaciones, su solución general y dos integrales primeras funcionalmente independientes se pueden expresar en términos de un conjunto fundamental de soluciones de una cierta ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Es destacable que, a pesar de este resultado, ninguna ecuación en la familia pasa el test de linealización de Lie. Sin embargo, nuestro resultado permite concluir que todas las ecuaciones de la subfamilia pueden ser linealizadas mediante transformaciones de Sundman generalizadas, que son transformaciones no locales. Se presentan varios ejemplos que ilustran el procedimiento presentado, entre los que se incluyen varias ecuaciones que carecen por completo de simetrías de Lie.
Finalmente, se obtienen nuevas soluciones de ondas viajeras para una ecuación de Burgers-Fisher generalizada (BFG). Estas soluciones proceden de soluciones de ecuaciones de segundo orden no lineales que pueden linealizarse mediante una transformación de Sundman generalizada. El problema de reconstrucción requiere resolver una familia uniparamétrica de ecuaciones de primer orden de tipo Chini. En primer lugar, obtenemos una expresión unificada de una familia uniparamétrica de soluciones exactas. Solo unos pocos casos particulares de estas soluciones exactas habían sido obtenidas recientemente en la literatura previa, mediante el uso de procedimientos hasta ahora no interrelacionados, como el método tanh, el método tanh-coth modificado, el método de la función Exp, el método de la integral primera, o el método de expansión (G'/G) mejorado. Añadiendo una cierta condición a los coeficientes de la ecuación BFG, el método propuesto consigue encontrar todas las posibles soluciones de ondas viajeras, dadas a través de una expresión unificada que depende de dos parámetros arbitrarios, y expresadas en términos de la función trascendente de Lerch. Finalmente, el caso $n =1$ se resuelve completamente, clasificando todas las soluciones de ondas viajeras admitidas en una familia uniparamétrica de soluciones exponenciales o en una familia biparamétrica de soluciones que involucran funciones de Bessel y funciones de Bessel modificadas. Para subclases particulares de la ecuación BFG, también se obtienen nuevas familias de soluciones, que dependen de uno o dos parámetros arbitrarios y están expresadas en términos de funciones exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas.
