Zermelo's problem, Finsler spacetimes and applications

Abstract

Esta tesis doctoral se compone de cuatro artículos de investigación y presenta una serie de resultados, vinculados al problema de Zermelo, los espacio-tiempos de Finsler y sus aplicaciones a la propagación de ondas, que son relevantes tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Desde una perspectiva teórica, los Artículos I y II estudian las propiedades de minimización del tiempo de las geodésicas luminosas en espacio-tiempos de Finsler y presentan un marco geométrico donde se pueden interpretar como trayectorias de una onda—o, más generalmente, de cualquier fenómeno físico que cumpla el principio de Huygens—en un contexto general: la onda puede ser anisótropa (dependiente de la dirección) y reonómica (dependiente del tiempo) en cualquier dimensión y con un frente inicial arbitrario. Estas trayectorias generalizan las soluciones al problema clásico de Zermelo, consistente en encontrar la trayectoria más rápida entre dos puntos fijos para un móvil que se mueve en presencia de una corriente. En este marco teórico, las velocidades de la onda proporcionan una métrica de Finsler en el espacio (y su correspondiente estructura de conos en el espacio-tiempo) y el cálculo del frente de ondas se reduce a resolver un sistema de EDOs—las ecuaciones de las geodésicas de una métrica de Lorentz-Finsler—. El Artículo IV completa esta descripción aportando las leyes de Snell y de la reflexión generalizadas, que proporcionan las trayectorias refractadas y reflejadas cuando la onda cruza la interfaz de separación entre dos medios. Estas leyes generalizan las correspondientes leyes clásicas cuando la propagación de la onda es anisótropa. Desde un punto de vista práctico, esta tesis se centra en la modelización de incendios forestales. En el Artículo II se demuestra que el citado sistema de EDOs, en el caso más simple en el que se asume una propagación del fuego elíptica, es equivalente al sistema de EDPs utilizado por simuladores de incendios actuales para calcular el frente del fuego. En el Artículo III desarrollamos un modelo más complejo, construyendo una métrica de Finsler concreta que tiene en cuenta la anisotropía generada por el viento y la pendiente—las principales fuentes de anisotropía. Por un lado, el efecto de la pendiente se modeliza por medio de una métrica de Matsumoto inversa, que favorece la dirección hacia arriba—el fuego se propaga más rápido cuesta arriba que cuesta abajo—. En presencia de viento, por otro lado, la propagación del fuego toma la forma aproximada de una doble semi-elipse, que constituye un buen ajuste desde el punto de vista experimental. Este modelo todavía se encuentra en una fase inicial de desarrollo y necesita ser probado experimentalmente. No obstante, su verdadero valor reside, no tanto en la métrica específica—que puede ser fácilmente modificada para ajustarla a cualquier otra forma fuertemente convexa—, sino en el novedoso uso de la geometría de Finsler, que simplifica la forma de calcular el frente y hace posible superar la restricción elíptica de manera eficiente.

This thesis is a collection of four research articles and features a series of results, linked to Zermelo's problem, Finsler spacetimes and applications to wave propagation, that are relevant both from a theoretical and practical perspective. From a theoretical point of view, Articles I and II study the time-minimizing properties of lightlike geodesics in Finsler spacetimes and present a geometric framework where they can be interpreted as wave trajectories—or, more generally, trajectories of any physical phenomenon that satisfies Huygens' principle—in a general context: the wave can be anisotropic (direction-dependent) and rheonomic (time-dependent) in any dimension and with an arbitrary initial wavefront. These trajectories generalize the solutions to the classical Zermelo's problem, which seeks the fastest trajectory between two fixed points for a moving object that travels in the presence of a current. Within this setting, the wave velocities yield a Finsler metric on the space (and the corresponding cone structure in the spacetime) and the computation of the wavefront is reduced to solving an ODE system—the geodesic equations of a Lorentz-Finsler metric. Article IV completes this framework with the generalized Snell's and reflection laws, which provide the refracted and reflected trajectories when the wave crosses the interface between two different media. These laws generalize the corresponding classical ones when the wave propagation is anisotropic. From a practical point of view, this thesis focuses on wildfire spread modeling. Article II proves that the aforementioned ODE system, in the simplest case when the fire growth is assumed to be elliptical, is equivalent to the PDE system used by current fire growth simulators to compute the firefront. In Article III we develop a non-elliptical model, constructing a specific Finsler metric that accounts for the anisotropies generated by the wind and the slope—the main sources of anisotropy. On the one hand, the slope effect is modeled by an inverse Matsumoto metric, which favors the upward direction—the fire moves faster upwards than downwards. In the presence of wind, on the other hand, the fire spread takes the approximate shape of a double semi-ellipse, which constitutes a good experimental fitting. This model is still in an early development stage and must be tested experimentally. Anyway, its true value lies not in the metric itself—which can be easily modified to fit any other strongly convex shape—but in the novel use of Finsler geometry, which simplifies the computation of the firefront and allows us to effectively overcome the elliptical constraint.