Resumen de Neuronal piecewise linear models reproducing bursting dynamics

Jordi Penalva Vadell

• español

  En esta tesis, proponemos una versión lineal a trozos del modelo de Morris-Lecar, modelo que estudiamos de manera cualitativa y que, a partir sus bifurcaciones, caracteritzamos las distintas dinámicas de bursting que surgen cuando se añaden una o dos variables lentas. En este sentido, hemos realizado por primera vez un estudio teórico del fenómeno del paso lento a través de una bifurcación en el contexto de sistemas slow-fast lineales a trozos. Los contenidos de esta memoria los dividmos en dos partes. En la primera, presentamos la versión lineal a trozos del modelo de Morris-Lecar (PWL-ML). Este modelo es capaz de reproducir comportamientos dinámicos propios del modelo original, con la ventaja de usar únicamente un espacio de parámetros de dimensión tres. De esta manera, somos capaces de estudiar y clasificar el espacio de bifurcaciones del modelo PWL-ML, obteniendo así bifurcaciones tan diversas como las bifurcaciones Hopf-like, bifurcaciones SNIC y bifurcaciones homoclinas, entre otras muchas más que el modelo pueda exhibir. En la segunda parte, pasamos a hacer un estudio de los fenómenos de paso lento a través de distintas bifurcaciones propias de nuestro modelo. Para ello, seguimos una perspectiva slow-fast, considerando el modelo PWL-ML como subsistema rápido y transformando uno de los parámetros de bifurcación en una variable lenta. Los fenómenos de paso lento a través de una bifurcación son los comportamientos resultantes de la interacción entre los sistemas lento y rápido, interacción que aparece como consecuencia de pasar cerca de la bifurcación del subsistema rápido. En tal caso, estudiaremos el paso lento en tres bifurcaciones distintas: la bifuración Hopf-like, la connexión homoclina y la bifurcación SNIC. El análisis de estos fenómenos obre la puerta a explorar las dinámicas de tipo bursting que aparecen en el modelo PWL-ML, de las cuales destacan: el bursting elíptico, propio de la bifurcación Hopf-like; el bursing square-wave, propio de la connexión homoclina; y el bursting parabólico, propio de la bifurcación SNIC.

• English

  In this thesis, we propose a piecewise linear version of the original planar Morris-Lecar model which we study qualitatively and for which we characterize several bifurcations related to different types of bursting dynamics obtained by adding one or two slow variables. In doing so, we will make the first theoretical study of the slow-passage phenomenon in the context of piecewise linear slow-fast systems. We divide the contents of the thesis in two parts. In the first part, we introduce our piecewise linear version of the Morris-Lecar model (PWL-ML). This model reproduce some dynamic behaviors observed in the original Morris-Lecar model and we identify and study adequate dynamical regimes where all parameters but three can be fixed. We study and categorize the bifurcation structure inherent to the PWL-ML model, revealing the presence of diverse bifurcation phenomena, primarily encompassing Hopf-like bifurcations, SNIC bifurcations, and homoclinic bifurcations, with the potential for other yet unexplored forms. In the second part, we study slow-passage phenomena through different bifurcations of the PWL-ML model. In this endeavor, we adopt a slow-fast system perspective, with the PWL-ML model constituting the fast subsystem and the main bifurcation parameter studied in part I serving as the slow variable. Slow-passage phenomena are the results of the interplay between fast and slow components, emerging as a consequence of the gradual drift close to a bifurcation point of the fast subsystem. In our case, we study the slow-passage through a Hopf-like bifurcation, through a homoclinic connection and finally through a SNIC bifurcation. The synthesis of these findings opens the door to explore the intricate bursting dynamics appearing in the PWL-ML model, which includes: elliptic bursting, for the Hopf-like bifurcation; square-wave bursting, for the homoclinic connection; and parabolic bursting, for the SNIC bifurcation.

• català

  En aquesta tesi, proposam una versió lineal a trossos del model de Morris-Lecar, un model que estudiam de manera qualitativa i que, a través de les seves bifurcacions, caracteritzam les diferents dinàmiques de bursting que apareixen quan s'afegeixen una o dues variables lentes. En aquest sentit, hem fet per primer cop l'estudi teòric del fenomen del pas lent a través d'una bifurcació en el context de sistemes slow-fast lineals a trossos. Els continguts de la memòria queden emmarcats dins dos grans blocs. En el primer, presentam la versió lineal a trossos del model de Morris-Lecar (PWL-ML). Aquest model és capaç de reproduir comportaments dinàmics propis del model original, emprant únicament un espai de tres paràmetres. D'aquesta manera, som capaços d'estudiar i classificar l'espai de bifurcacions del model PWL-ML, d'on som capaços d'obtenir bifurcacions tan diverses com les bifurcacions Hopf-like, bifurcacions SNIC, i bifurcacions homoclines, entre moltes d'altres que pot exhibir-ne. En el segon bloc, passam a fer un estudi dels fenòmens de pas lent a través de diferents bifurcacions pròpies del model en qüestió. Per això, no ens queda més remei que prendre una perspectiva \textit{slow-fast}, considerant el model PWL-ML com a subsistema ràpid i transformant un dels paràmetres de bifurcació estudiats com a variable lenta. Els fenòmens de pas lent a través d'una bifurcació són els comportaments resultants de la interacció entre els sistemes lent i ràpid, interacció que apareix com a conseqüència de passar a prop de la bifurcació del subsistema ràpid. En aquest cas, estudiarem aquest pas lent en tres bifurcacions distintes: la Hopf-like, la connexió homoclina i la SNIC. L'anàlisi d'aquests fenòmens obri la porta a explorar les dinàmiques de tipus bursting que apareixen al model PWL-ML, de les quals destaquen: el bursting el·líptic, propi de la bifurcació de la Hopf-like; el bursing square-wave, propi de la connexió homoclina; i el bursting parabòlic, propi de la bifurcació SNIC.