Chern degree functions and Prym semicanonical pencils

• Autores: Andrés Rojas González
• Directores de la Tesis: Juan Carlos Naranjo del Val (dir. tes.) , Martí Lahoz Vilalta (codir. tes.)
• Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2021
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Emanuele Macrì (presid.) , Miguel Ángel Barja Yáñez (secret.) , Paola Frediani (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: TESEO
• Resumen

  • La presente tesis aborda dos problemas distintos, enmarcados en el ámbito de las variedades abelianas. El primer objetivo es el de entender las cohomological rank functions, introducidas recientemente por Jiang y Pareschi para variedades abelianas polarizadas, en el caso de las superficies abelianas.

    El método aquí empleado se basa en las condiciones de estabilidad de Bridgeland en la categoría derivada. La existencia de estas condiciones de estabilidad para superficies proyectivas lisas cualesquiera (i.e. no necesariamente abelianas) nos permite introducir las Chern degree functions asociadas a objetos de la categoría derivada. Demostramos la continuidad de estas funciones como funciones de variable real y analizamos su derivabilidad en términos de estabilidad.

    En el caso particular de las superficies abelianas, las Chern degree functions recuperan las cohological rank functions de Jiang y Pareschi, lo cual determina una nueva estructura para estas funciones y permite describir muchos de sus aspectos. Además, esta presentación resulta útil para el cálculo de nuevos ejemplos. El más notable corresponde a las funciones del haz de ideales de un punto, de cuyo cálculo se deducen nuevos resultados sobre las syzygias de superficies abelianas polarizadas, mediante criterios recientes de Caucci e Ito.

    En la segunda parte se estudian los recubrimientos dobles no ramificados de curvas dotadas de un semicanonical pencil, y sus variedades de Prym. Tales recubirimientos constituyen dos divisores en el espacio de móduli de recubrimientos dobles no ramificados, para los cuales se demuestra su irreducibilidad y se calcula su clase en términos de las clases generadoras del grupo (racional) de Picard del espacio de móduli.

    Además, se realiza un estudio de la aplicación de Prym restringida a estos divisores, que muestra diferencias significativas entre ellos. Este análisis se realiza con especial detalle para los casos de género bajo, debido a la rica geometría que involucran. Por ejemplo, el estudio para uno de los divisores en género 5 presenta consecuencias enumerativas sobre ciertas rectas contenidas en los sólidos cúbicos.