Resumen de Lineabilidad y propiedades no lineales en el ámbito del Análisis Real: Lineability and nonlinear properties in the real setting

Eva Sáez Maestro

• español

  La tesis presente cubre dos temas fundamentales: la lineabilidad y la convolución de funciones. Estos temas se corresponden con los dos grandes apartados de la tesis.

  El primero, por tanto, se centra en la lineabilidad, entendida como el estudio de el tipo de estructuras (algebraicas o topológicas) que pueden encontrarse en el interior de ciertos conjuntos que, a priori, no poseen estructura alguna. Más concretamente está dedicado al estudio de la estructura algebraica de los conjuntos de funciones sobreyectivas. Se concluye con el desarrollo de conexiones entre diferentes grados de sobreyectividad extrema.

  A partir de ahí se desarrolla un segundo bloque teórico que profundiza en la diferenciabilidad de la convolución de funciones. Usamos como introducción las funciones de Volterra y periódicas para construir dos funciones diferenciables pero cuya convolución no lo es.

  El trabajo finaliza con una extensión de este segundo bloque concretando la estructura algebraica del conjunto de las funciones continuas y no diferenciables en ningún punto, cuyas convoluciones proporcionan una función continua pero no diferenciable en ningún punto.

• English

  The present thesis covers two fundamental topics: lineability and convolution of functions. These topics correspond to the two main sections of the thesis.

  The first, therefore, focuses on lineability, understood as the study of the type of structures (algebraic or topological) that can be found in the interior of certain sets which, a priori, do not possess any structure. More specifically, it is devoted to the study of the algebraic structure of sets of overjective functions. It concludes with the development of connections between different degrees of extreme overjectivity.

  From there, a second theoretical block is developed, which delves into the differentiability of the convolution of functions. We use as an introduction the Volterra and periodic functions to construct two differentiable functions whose convolution is not differentiable.

  The work ends with an extension of this second block by specifying the algebraic structure of the set of continuous and non-differentiable functions at any point, whose convolutions provide a continuous but non-differentiable function at any point.