Resumen de Subdomains-like notions in relative homological algebra

Houda Amzil

• español

  Propiedades homológicas de los módulos tales como la inyectividad, proyectividad, planitud, etc. se han considerado clásicamente como atributos que los módulos pueden tener o no tener. Al igual que los interruptores clásicos, sólo tienen las posiciones de encendido y apagado. Pero esto ha cambiado últimamente y una nueva tendencia comenzó hace algunos años: la idea es no etiquetar un módulo como “tiene la propiedad” o “no la tiene”, sino estudiar hasta qué punto el módulo tiene la propiedad. En esta tesis doctoral se desarrollarán estos conceptos en ámbitos nuevos y muy interesantes del álgebra homológica. El primer objetivo de esta tesis es introducir una perspectiva nueva y fresca sobre la planitud de los módulos. Sin embargo, primero investigamos un contexto más general introduciendo dominios relativos a una clase precovering X Llamamos a estos dominios de completación de X-precubiertas y los denotamos por X(L) para una clase de módulos L. En particular, cuando X es la clase de módulos planos, los llamamos dominios de completación de precubiertas planas. Este enfoque nos permite unificar algunos conceptos homológicos conocidos. Eso conduce a la generalización de algunos resultados importantes, así como a la caracterización de algunos anillos clásicos en términos de estos dominios.

  El segundo objetivo de esta tesis es investigar cuando cada módulo de una clase L tiene una X(L)-preenvolvente. También investigamos las X(L)-preenvolventes épicas y mónicas. Este estudio juega un papel clave en el establecimiento de un marco general para varios resultados clásicos. Luego, para una clase de módulos M finitamente generados, introducimos la noción de módulos M-R-Mittag-Leffler como una extensión natural de los módulos R-Mittag-Leffler. Esto nos permite encontrar pruebas más fáciles de algunos resultados conocidos y también establecer otros nuevos.

• English

  Homological properties of modules such as injectivity, projectivity, flatness etc.

  have been classically considered as attributes that the modules can either have or not to have. Just like the classical switches, they only have the on and off positions.

  But this has changed lately and a new trend started some years ago: the idea is not to label a module as “it has the property” or “it doesn’t have it”, but to study up to what degree the module has the property instead. These type of concepts are developed in this doctoral thesis in new and interesting contexts for the homological algebra.

  The first aim of this thesis is to introduce a new and fresh perspective on flatness of modules. However, we first investigate a more general context by introducing domains relative to a precovering class X . We call these domains X -precover completing domains and denote them X −1 (L) for a class of modules L. In particular, when X is the class of flat modules, we call them flat-precover completing domains.

  This approach allows us to unify some known homological concepts. This leads to the generalization of some important results as well as the characterization of some classical rings in terms of these domains.

  The second aim of this thesis is to investigate when every module of a class L has an X −1 (L)-preenvelope. Epic and monic X −1 (L)-preenvelopes are also investigated. This study plays a key role in setting a general framework for several classical results. Then, for a class of finitely generated modules M, we introduce the notion of M-R-Mittag-Leffler modules as a natural extension of R-Mittag-Leffler modules. This enables us to find easier proofs of some known results and also to establish new ones.

• français

  Certaines propriet´ es homologiques des modules telles que l’injectivit ´ e, la projec- ´ tivite, la platitude, etc. ont ´ et´ e classiquement consid ´ er´ ees comme des attributs que ´ les modules peuvent avoir ou ne pas avoir. Tout comme le interrupteurs classiques, ils n’ont que les positions marche et arret. Mais cela a chang ˆ e r ´ ecemment et une ´ nouvelle tendance est apparue il y a quelques annees: l’id ´ ee n’est pas de consid ´ erer ´ un module comme “il a la propriet´ e” ou “il ne l’a pas”, mais plut ´ ot d’ ˆ etudier jusqu’ ´ a` quel point le module a la propriet´ e. Ces types de concepts sont d ´ evelopp ´ es dans ´ cette these dans des contextes nouveaux et int ` eressants dans l’alg ´ ebre homologique. ` Le premier objectif de cette these est d’introduire une nouvelle perspective sur la ` platitude des modules. Cependant, nous etudions d’abord un contexte plus g ´ en´ eral ´ en introduisant des domaines relatifs a une classe pr ` ecouvrante ´ X . Ces domaines sont appeles domaines de ´ X -precouvertures compl ´ et´ ees et on les note par ´ X −1 (L) pour une classe de modules L. En particulier, lorsque X est la classe des modules plats, nous les appelons domaines de precouvertures plates compl ´ et´ ees. Cette ´ approche nous permet d’unifier certains concepts homologiques connus. Ceci induit la gen´ eralisation de certains r ´ esultats importants ainsi que la caract ´ erisation de ´ certains anneaux classiques en fonction de ces domaines.

  Le deuxieme objectif de cette th ` ese est d’ ` etudier quand est ce que chaque mod- ´ ule d’une classe L possede une ` X −1 (L)-preenveloppe. Les ´ X −1 (L)-preenveloppes ´ surjectives et injectives sont egalement ´ etudi ´ ees. Cette ´ etude joue un r ´ ole cl ˆ e dans la ´ mise en place d’un cadre gen´ eral pour plusieurs r ´ esultats classiques. Ensuite, pour ´ une classe de modules M de type fini, nous introduisons la notion de modules MR-Mittag-Leffler comme extension naturelle des modules R-Mittag-Leffler. Cela nous permet de retrouver plus facilement certains resultats connus, ainsi que d’en ´ etablir de nouveaux.