Flag curvature in pseudo-Finsler manifolds

Abstract

El objetivo de esta tesis doctoral es estudiar la curvatura bandera de una variedad de pseudo-Finsler, análoga a la curvatura seccional a lo largo de un plano, pero que en este contexto depende además de la elección de una dirección en ese plano, de ahí el nombre que recibe. Para ello usaremos estructuras geométricas tales como las subvariedades y sumersiones. La metodología empleada consiste en adaptar a las variedades de pseudo-Finsler los métodos clásicos para el estudio de subvariedades y sumersiones en geometría pseudo-riemanniana, usando para tal fin el cálculo tensorial anisotrópico desarrollado recientemente, cuya novedad principal respecto al cálculo tensorial clásico es la aparición de derivadas verticales con respecto al fibrado tangente. Los resultados obtenidos se enmarcan dentro de dos estructuras fundamentales de la geometría de Finsler como son las subvariedades y las sumersiones y sus ecuaciones más importantes: las de Gauss y Codazzi y sus ecuaciones duales en una sumersión. En un primer capítulo se recuerdan las nociones fundamentales de la geometría de Finsler, destacando el ejemplo histórico de las métricas de Randers en las que se obtiene el tensor fundamental asociado a la métrica en términos de sus datos de Zermelo, a saber, la métrica riemanniana h y el campo vectorial W. Recordemos que al trasladar la esfera de esa métrica h a lo largo de ese campo W obtenemos la indicatriz de Randers. En el capítulo 2 se investiga la relación entre la curvatura bandera de una subvariedad no-degenerada con la curvatura bandera de su variedad ambiente, utilizando una generalización al caso finsleriano de las ecuaciones de Gauss y Codazzi. La conexión de Chern, la única conexión lineal anisotrópica libre de torsión que preserva la métrica, no induce en subvariedades la conexión de Chern intrínseca a cada subvariedad, sino otra conexión inducida, cuya diferencia con la conexión de Chern intrínseca define un tensor anisotrópico de la subvariedad que es cero en el caso riemanniano. Los múltiples términos adicionales que aparecen en las ecuaciones de Gauss y Codazzi dependen de ese tensor, así como de la derivada vertical de la conexión de Chern y de la derivada vertical del tensor fundamental asociado a la métrica, conocida como tensor de Cartan. Las propiedades de simplificación de ese tensor diferencia y del tensor de Cartan, permiten sin embargo obtener expresiones sencillas a la hora de relacionar la curvatura bandera de la variedad ambiente y de la subvariedad. Como aplicación, se calcula la curvatura bandera de una subvariedad de un espacio de Randers-Minkowski en términos de los datos de Zermelo. Finalmente, en el capítulo 3, realizamos un estudio detallado de las sumersiones de pseudo-Finsler y de sus ecuaciones fundamentales, introducidas en el caso riemanniano por Barrett O’Neill en 1966. Se trata de sumersiones cuyas fibras son subvariedades no-degeneradas y que preservan la longitud de los vectores horizontales en el sentido anisotrópico. De modo análogo a la conexión inducida y la conexión de Chern intrínseca de una subvariedad, el levantamiento horizontal de la conexión de Chern de la variedad de base no coincide con la parte horizontal de la conexión de Chern de la variedad ambiente, resultando en un nuevo tensor diferencia que da lugar a ecuaciones duales a las ecuaciones de Gauss y Codazzi cuando el vector admisible de referencia es horizontal. Como última aplicación se estudian las sumersiones cuyas fibras son totalmente geodésicas. En particular, bajo ciertas condiciones de regularidad, una sumersión cuyas fibras son totalmente geodésicas es la proyección de un fibrado asociado con un fibrado principal cuyo grupo de estructura es el grupo de Lie de las isometrías de las fibras.

The objective of this doctoral thesis is to study the flag curvature of a pseudo-Finsler manifold, analogous to the sectional curvature along a plane, but which in this context also has a dependence on the choice of a direction in that plane, hence the name. To this end, we shall use geometric structures such as submanifolds and submersions. The methodology used consists in adapting to pseudo-Finsler manifolds the classical methods of the study of submanifolds and submersions in pseudo-Riemannian geometry, using to this end the recently developed anisotropic tensor calculus, whose principal novelty with respect to classical tensor calculus is the appearance of vertical derivatives with respect to the tangent bundle. The results obtained are framed in the context of two fundamental structures of Finsler geometry, which are submanifolds and submersions, and their most important equations: the Gauss and Codazzi equations, and their dual fundamental equations of a submersion. A first chapter presents the fundamental notions of Finsler geometry, highlighting the historical example of metrics of Randers type, for which we can obtain the associated fundamental tensor in terms of the Zermelo data, that is, the Riemannian metric h and the vector field W. Recall that translating the unit sphere of this metric h along that vector field W yields the indicatrix of the Randers metric. In chapter 2, we study the relationship between the flag curvature of a non-degenerate submanifold with the flag curvature of its ambient manifold, using a generalisation to the Finslerian case of the Gauss and Codazzi equations. The Chern connection, the unique torsion-free anisotropic linear connection which preserves the metric, does not induce on the submanifold its intrinsic Chern connection, but another connection, called the induced connection, whose difference with the intrinsic Chern connection defines an anisotropic tensor of the submanifold. That tensor vanishes in the Riemannian case. The multiple additional terms that appear in the Gauss and Codazzi equations have a dependence on this tensor, as well as on the vertical derivative of the Chern connection and the vertical derivative of the fundamental tensor associated with the metric, known as the Cartan tensor. The simplifying properties of this difference tensor and of the Cartan tensor allow nevertheless to obtain simple expressions when relating the flag curvature of the ambient manifold to that of a submanifold. As an application, we calculate the flag curvature of a submanifold of a Randers-Minkowski space in terms of the Zermelo data. Finally, in chapter 3, we perform a detailed analysis of pseudo-Finsler submersions and their fundamental equations, introduced in the Riemannian case by Barrett O’Neill in 1966. They consist of submersions whose fibres are non-degenerate submanifolds and which preserve the length of horizontal vectors. Analogously to the induced connection and intrinsic Chern connection of a submanifold, the horizontal lift of the Chern connection of the base manifold does not coincide with the horizontal part of the Chern connection of the ambient manifold, resulting in a new difference tensor which gives rise to equations that are dual to the Gauss and Codazzi equations when the reference admissible vector is horizontal. As a last application we study submersions whose fibres are totally geodesic. In particular, under certain regularity conditions, a submersion whose fibres are totally geodesic is the projection of a fibre bundle associated with a principal bundle whose structure group is the Lie group of isometries of the fibre.