Resumen de Dimensiones (x ,y )-Gorenstein: Aplicaciones en la categoría de módulos

Enrique Duarte González

• español

  Este trabajo lo dividimos en dos bloques.

  En el primer bloque, Capítulos 3 y 4, cuyo ámbito de trabajo es una categoría abeliana con suficientes inyectivos, consideramos X e Y dos subcategorías plenas de la categoría abeliana. Introducimos y estudiamos la subcategoría (X,Y)-Gorenstein, que generaliza a subcategorías y clases de módulos ampliamente estudiadas, por ejemplo, las subcategoría X-Gorenstein o las clases de módulos GC-proyectivos y GC-inyectivos. Probamos que, bajo determinadas condiciones sobre las subcategorías X e Y, la subcategoría (X,Y)-Gorenstein es estable y estudiamos las principales propiedades de ésta. Definimos las dimensiones homológicas inducidas por la categoría (X,Y)-Gorenstein, y vemos que se puede calcular a partir de los funtores Ext^n cuando éstas son finitas. Probamos que los objetos con G(X,Y)-dimensión proyectiva (inyectiva) finita tienen una G(X,Y)-precubierta (preenvolvente) especial y relacionamos estas dimensiones con las dimensiones inducidas por las subcategorías X-Gorenstein e Y-Gorenstein. Para acabar este bloque, definimos y estudiamos la dimensión global (X,\Y)-Gorenstein, incidiendo en cómo es la categoría cuando la dimensión global es finita.

  En el segundo bloque, Capítulos 5 y 6, el ámbito es la categoría de R-módulos. Consideramos un R-módulo a izquierda C y el anillo S=End_R(C). Cuando C es semidualizante, las clases de Auslander Ausl_C(S) y de Bass Bass_C(R) asociadas a C han sido sujeto de muchas investigaciones. Suavizando la condición de semidualizante a débilmente Wakamatsu tilting, establecemos condiciones para que el par formado por la clase de Auslander y su clase 1-ortogonal a derecha sea una teoría de cotorsión perfecta y para que el par formado por la clase 1-ortogonal a izquierda de la clase de Bass y la clase de Bass sea una teoría de cotorsión completa hereditaria. A partir de estos pares de cotorsión, obtenemos condiciones para que las clases de Auslander y Bass sean covering.

  Introducimos la investigación de los módulos Gorenstein planos relativos a un módulo C, no necesariamente semidualizante, y estudiamos condiciones para que la clase de los módulos GC-proyectivos sea precovering especial, para que la clase de los módulos GC-planos sea covering, para que la clase de los módulos Gorenstein C-proyectivos sea precovering y para que la clase de los módulos Gorenstein C-inyectivos sea preenveloping.

• English

  This document constitutes the doctoral thesis to aim for a PhD degree in Mathematics. We divide this work into two blocks. In the first block, Chapters 3 and 4, whose scope is an abelian category A with enough injectives, we consider X e Y two full subcategories of A. We introduce and study the (X ,Y )-Gorenstein subcategory of A , which generalizes to widely studied subcategories and classes of modules, for example the X-Gorenstein subcategory or the classes of GC-projectives modules and GC-injectives modules. We proved that, under certain conditions on the subcategories X e Y , the subcategory (X ,Y )-Gorenstein is stable and we studied its main properties. We define the homological dimensions induced by the subcategory (X ,Y )-Gorenstein in A , and we see that it can be calculated from the functors Extn when they are finite. We prove that objects with finite projective (injective) G(X ,Y )-dimension have a special G(X,Y )-precover (preenvelope) and relate these dimensions to the dimensions induced by the subcategories X-Gorenstein and Y-Gorenstein in A . To finish this block, we define and study the global dimension (X ,Y )- Gorenstein, focusing on what the category is like when the global dimension is f inite. In the second block, Chapters 5 and 6, the scope is the category of Rmodules. We consider a left R-module C and the ring S = EndR(C). When C is semidualizing, the Auslander class AC(S) and the Bass class BC(R) associated to C have been subject of extensive investigations. Weakien the condition from semidualizing to weakly Wakamatsu tilting, we establish conditions for the pair (AC(S),AC(S)⊥1) to be a perfect cotorsion theory and for the pair (⊥1BC(R),BC(R)) to be a complete hereditary cotorsion theory. From these cotorsion pairs, we obtain conditions for the Auslander and Bass classes to be covering. Abstract We introduce the investigation of Gorenstein flat modules relative to a not necessarily semidualizing module C and we find conditions for the class of GC-projective modules to be special precovering, the class of GC-flat modules to be covering, the one of Gorenstein C-projective modules to be precovering and that of Gorenstein C-injective modules to be preenveloping.