Efficient Space and Time Solution Techniques for High-Order Discontinuous Galerkin Discretizations of the 3D Compressible Navier-Stokes Equations

Resumen

En esta tesis se presentan varias técnicas de solución para métodos de Galerkin discontinuo (DG, p.s.s.e.i.1) de alto orden. Si bien el objetivo principal es el desarrollo de técnicas precisas y computacionalmente eficientes para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes de flujo compresible en 3D por medio del método Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM), todos los métodos desarrollados en esta tesis se pueden aplicar a otras ecuaciones de conservación no lineales y a otros esquemas DG. Las técnicas de solución acá presentadas pueden ser clasificadas en dos grupos: (i) las que están orientadas a acelarar la integración temporal, y (ii) las que mejoran la discretización espacial con adaptación-p local. El primer grupo de técnicas disminuye el tiempo de cálculo dada una discretización espacial con un número fijo de grados de libertad (NDOF, p.s.s.e.i.) mediante la mejora de los algoritmos de solución. Por ese motivo, se presta especial atención al desarrollo de algoritmos eficientes para integración temporal implícita y de métodos multimalla. También se detalla una metodología para obtener el Jacobiano analítico DG para ecuaciónes de advección-difusión. Además, se demuestra que la discretización implícita del DGSEM en nodos de Gauss-Lobatto puede ser resuelta eficientemente mediante el método static condensation. Lo anterior permite resolver el problema con sistemas lineales más pequeños y mejor condicionados, lo cual disminuye los tiempos de cálculo para órdenes moderados. El segundo grupo de técnicas consiste en modificar localmente la discretización espacial para reducir NDOF sin deteriorar la precisión del método. Para lograr este obetivo, en esta tesis se desarrolla un nuevo estimador de error para el método DGSEM p-anisitrópico basado en el método _-estimation, el cual es más preciso y requiere menos recursos computacionales que enfoques previos. Posteriormente, este estimador se usa con éxito para realizar adaptación-p anisotrópica en casos estacionaros y no estacionarios, y se demuestra que éste se puede acoplar con métodos multimalla para acelerar más las simulaciones. Adicionalmente, se desarrollan dos técnicas de adaptación-p para casos no estacionarios: un algoritmo dinámico y un algoritmo estático, que es computacionalmente más eficiente en algunos casos estadísticamente estacionarios. ----------ABSTRACT---------- In this thesis, we develop space and time solution techniques for high-order Discontinuous Galerkin (DG) methods. Even though the main focus is the accurate and computationally efficient solution of the 3D compressible Navier-Stokes equations using the Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM), the methods developed here can be applied to other systems of nonlinear conservation laws and other DG methods. The solution techniques can be classified into two groups: (i) improved solution techniques for temporal discretizations, and (ii) local p-adaptation techniques that enhance the spatial discretization. The first group of techniques decreases the computational time for a given spatial discretization with a fixed number of degrees of freedom (NDOF) by improving the linear and nonlinear solver algorithms. In that regard, special attention is paid to the development of efficient implicit time-integration solvers and to multigrid methods (both explicit and implicit in time). We derive a methodology to obtain the analytical Jacobian of DG discretizations of nonlinear advectiondiffusion equations. Furthermore, we show that time-implicit DGSEM discretizations on Gauss-Lobatto points can be formulated as Schur complement problems and solved using the static-condensation method. This enables one to solve smaller, better-conditioned problems, which yields shorter computation times for moderate polynomial orders. The second group of techniques modifies the spatial discretization by reducing the NDOF while maintaining similar accuracy. To do that, we develop a novel truncation error estimator that uses the _-estimation method for the p-anisotropic DGSEM. The new method is more accurate and computationally cheaper than previous approaches. The error estimator is then successfully applied to perform local anisotropic p-adaptation for steady and unsteady flows. We show that the truncation error estimator can be readily coupled with multigrid techniques to obtain further speed-ups. Moreover, we develop two p-adaptation strategies for unsteady flows. One of them is a dynamic _-based anisotropic p-adaptation method. The other one is a static _-based anisotropic p-adaptation method, which may be computationally cheaper in statistically steady flows.