Resumen de Weighted composition operators and weighted conformal invariance
Alejandro Mas Mas
En esta tesis tratamos ciertos problemas relacionados con los operadores de composición ponderados. Estudiamos cómo actúan estos operadores en espacios de funciones analíticas en D o en un dominio acotado Ω⊂C.
En primer lugar nos centramos en una familia amplia de espacios de Hilbert de funciones analíticas en el disco unidad, los cuales satisfacen solamente un número reducido de axiomas y cuyo núcleo reproductor tiene la forma usual. A estos espacios se les llama espacios de Hardy con peso. En estos espacios caracterizamos los operadores de composición ponderados que son co-isométricos (equivalentemente, unitarios). El resultado principal nos revela una dicotomía al identificar una familia especifica de espacios de Hardy con peso como los únicos espacios en los cuales existen operadores no triviales de este tipo.
La segunda parte de la tesis está dedicada a explorar una clase de espacios de funciones analíticas los cuales comparten una cierta propiedad de invariancia conforme ponderada. Para ser más preciso, en esta parte presentamos una aproximación general a los espacios que son invariantes bajo los operadores W^α_φ definidos por W^α_φ f = (φ')^α (f◦φ) con α > 0 y φ∈Aut(D). Podemos observar que muchos de los espacios de Banach de funciones analíticas clásicos como los espacios de crecimiento de Korenblum, los espacios de Hardy, los espacios de Bergman con peso y ciertos espacios de Besov son invariantes bajo estos operadores. Entre otras cosas, en esta parte identificamos el espacio más grande, el más pequeño y el “único” espacio de Hilbert que satisface esta propiedad de invariancia ponderada para un α > 0 dado.
En la última parte consideramos espacios de Banach abstractos de funciones analíticas en un dominio acotado general los cuales sólo satisfacen unos pocos axiomas. A continuación, describimos todos los operados de composición ponderados invertibles (equivalentemente, sobreyectivos) que actúan sobre estos espacios.
