Teoría de números clásica en tres contextos diferentes
Author
Granados Palomo, JoséAdvisor
Chamizo Lorente, FernandoEntity
UAM. Departamento de Matemáticas; Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Date
2020-07-17Subjects
Números, Teoría de los - Variable compleja - Tesis doctorales; Números, Teoría de los - Análisis de Fourier - Tesis doctorales; Números, Teoría de los - Análisis numérico - Tesis doctorales; MatemáticasNote
Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura 17-07-2020Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
La Teoría de Números es una disciplina casi inabarcable dentro de las Matemáticas y se ocupa de una infinidad
de fenómenos y problemas que surgen al estudiar los diferentes conjuntos numéricos. En este trabajo se presentan
tres contextos particulares (distribuidos en tres Capítulos respectivos) donde está presente un contacto sutil de esta
disciplina con otras tales como la Variable Compleja, el Análisis de Fourier, el Análisis Numérico o la Geometría
Algebraica; muestra de la interacción entre diferentes ramas que permite obtener resultados como los que se van a
producir.
En el primer Capítulo se analizará el fenómeno de la distribución del espectro de autovalores del Operador de
Laplace-Beltrami (llamada Ley de Weyl) cuando se define sobre los grupos de Lie clásicos considerados como variedades
Riemannianas, a las cuales se les puede aplicar la Teoría de Operadores. Aunque el punto de partida es un
resultado ya existente sobre dicha distribución, la localización de un error en una desigualdad llevará a reformular
la prueba en términos de una herramienta propia de la Teoría de Números como son las formas modulares. Gracias
a esta herramienta y a otros resultados auxiliares con toques de Variable Compleja, se podrá proveer una prueba
que englobará algún caso más que el resultado de partida en el caso particular del grupo SO(N). Asimismo, se
completarán los casos no contemplados por el resultado principal haciendo uso básico de estimaciones de sumas
exponenciales.
En el segundo Capítulo se rescatará el famoso Teorema de los Números Primos en Progresiones Aritméticas.
Una vez que se constataron pruebas analíticas a través de la Variable Compleja para su análogo sin progresiones
aritméticas y para él mismo, surgió un interés por buscar alguna prueba elemental, es decir, que solo necesitara el
puro manejo de las sumas involucradas sin recurrir a herramientas más sofisiticadas. Una vez se consiguieron, la
complejidad y la extensión de tales pruebas las hizo caer en desuso, pasando a ser el objetivo encontrar un equilibrio
entre la extensión y el uso de técnicas complejas. En este sentido, Iwaniec dio una prueba relativamente breve y
muy simple para el caso sin progresiones aritméticas. Puesto que buscando en la literatura no se ha encontrado
ninguna aplicación del método de Iwaniec a las progresiones aritméticas, este Capítulo se ocupará de ello. El punto
clave será la búsqueda de cotas adecuadas para las funciones involucradas que conduzcan a un desarrollo asintótico
satisfactorio.
En el tercer Capítulo se realizará un homenaje al recientemente fallecido profesor Javier Cilleruelo intentando
dar luz a una de las últimas conjeturas que propuso acerca de los conjuntos de sumas de divisores simétricos de
un número natural. En un intento por esclarecer la estructura de tales conjuntos y las ecuaciones diofánticas que
los rigen, se apelará a objetos tan diversos como ecuaciones de Pell, curvas elípticas o superficies algebraicas, que
aunque no cerrarán por completo el problema, ofrecerán una visión muy clara de cómo un simple juego de números
puede convertirse en un problema conjetural fuerte, hecho muy frecuente en Teoría de Números, donde los enunciados
más cortos, entendibles y bellos dan lugar a pruebas de extraordinaria dificultad y que apelan a técnicas
insospechadas que aparentemente no tendrían por que ver nada con los mismos.
Los tres Capítulos mencionados conformarán un compendio de resultados auxiliares que sustentarán las pruebas
de los resultados principales y otorgarán a este trabajo de un carácter lo más autocontenido posible, dejando los
aspectos que se desvían de cada uno de los objetivos, bien por su dificultad o grado de tecnicismo, para el lector
que desee profundizar en su lectura
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