Teoría de números clásica en tres contextos diferentes

• Autores: José Granados Palomo
• Directores de la Tesis: Fernando Chamizo Lorente (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2020
• Idioma: español
• Número de páginas: 88
• Tribunal Calificador de la Tesis: Elisa Lorenzo García (presid.) , Adolfo Quirós Gracián (secret.) , María Angeles Gómez Molleda (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • La Teoría de Números es una disciplina casi inabarcable dentro de las Matemáticas y se ocupa de una infinidad de fenómenos y problemas que surgen al estudiar los diferentes conjuntos numéricos. En este trabajo se presentan tres contextos particulares (distribuidos en tres Capítulos respectivos) donde está presente un contacto sutil de esta disciplina con otras tales como la Variable Compleja, el Análisis de Fourier, el Análisis Numérico o la Geometría Algebraica; muestra de la interacción entre diferentes ramas que permite obtener resultados como los que se van a producir.

    En el primer Capítulo se analizará el fenómeno de la distribución del espectro de autovalores del Operador de Laplace-Beltrami (llamada Ley de Weyl) cuando se define sobre los grupos de Lie clásicos considerados como variedades Riemannianas, a las cuales se les puede aplicar la Teoría de Operadores. Aunque el punto de partida es un resultado ya existente sobre dicha distribución, la localización de un error en una desigualdad llevará a reformular la prueba en términos de una herramienta propia de la Teoría de Números como son las formas modulares. Gracias a esta herramienta y a otros resultados auxiliares con toques de Variable Compleja, se podrá proveer una prueba que englobará algún caso más que el resultado de partida en el caso particular del grupo SO(N). Asimismo, se completarán los casos no contemplados por el resultado principal haciendo uso básico de estimaciones de sumas exponenciales.

    En el segundo Capítulo se rescatará el famoso Teorema de los Números Primos en Progresiones Aritméticas.

    Una vez que se constataron pruebas analíticas a través de la Variable Compleja para su análogo sin progresiones aritméticas y para él mismo, surgió un interés por buscar alguna prueba elemental, es decir, que solo necesitara el puro manejo de las sumas involucradas sin recurrir a herramientas más sofisiticadas. Una vez se consiguieron, la complejidad y la extensión de tales pruebas las hizo caer en desuso, pasando a ser el objetivo encontrar un equilibrio entre la extensión y el uso de técnicas complejas. En este sentido, Iwaniec dio una prueba relativamente breve y muy simple para el caso sin progresiones aritméticas. Puesto que buscando en la literatura no se ha encontrado ninguna aplicación del método de Iwaniec a las progresiones aritméticas, este Capítulo se ocupará de ello. El punto clave será la búsqueda de cotas adecuadas para las funciones involucradas que conduzcan a un desarrollo asintótico satisfactorio.

    En el tercer Capítulo se realizará un homenaje al recientemente fallecido profesor Javier Cilleruelo intentando dar luz a una de las últimas conjeturas que propuso acerca de los conjuntos de sumas de divisores simétricos de un número natural. En un intento por esclarecer la estructura de tales conjuntos y las ecuaciones diofánticas que los rigen, se apelará a objetos tan diversos como ecuaciones de Pell, curvas elípticas o superficies algebraicas, que aunque no cerrarán por completo el problema, ofrecerán una visión muy clara de cómo un simple juego de números puede convertirse en un problema conjetural fuerte, hecho muy frecuente en Teoría de Números, donde los enunciados más cortos, entendibles y bellos dan lugar a pruebas de extraordinaria dificultad y que apelan a técnicas insospechadas que aparentemente no tendrían por que ver nada con los mismos.

    Los tres Capítulos mencionados conformarán un compendio de resultados auxiliares que sustentarán las pruebas de los resultados principales y otorgarán a este trabajo de un carácter lo más autocontenido posible, dejando los aspectos que se desvían de cada uno de los objetivos, bien por su dificultad o grado de tecnicismo, para el lector que desee profundizar en su lectura