Algunos resultados sobre b-matrices y matrices con inversa positiva
- Autores: Manuel Francisco Abad Rodríguez
- Directores de la Tesis: Juan Ramón Torregrosa Sánchez (dir. tes.)
, María T. Gassó (dir. tes.) - Lectura: En la Universitat Politècnica de València ( España ) en 2012
- Idioma: español
- Tribunal Calificador de la Tesis: A. Cordero (presid.) , Cristina Jordán Lluch (secret.) , María Isabel García Planas (voc.) , Pedro Alonso Velázquez (voc.) , Salvador Hernández Muñoz (voc.)
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: TESEO
- Resumen
El objetivo de esta memoria es analizar, desde diferentes puntos de vista, dos clases de matrices ampliamente utilizadas, las matrices con inversa positiva y las B-matrices. Vamos a generalizar, en unos casos, y completar en otros los resultados obtenidos por diferentes investigadores.
El problema de caracterizar matrices inversa-positiva ha sido extensamente tratado en la literatura. Diversos autores estudiaron el concepto para matrices inversa-positiva que además fuesen Z-matriz (es decir, M-matrices). Otros autores se ocuparon de caracterizar los patrones de signos que debe seguir una matriz inversa-positiva.
La inversa-positividad de matrices cuadradas reales juega un rol muy importante en diferentes áreas de la ciencia y la ingeniería y ha sido analizada en diferentes contextos. En nuestro trabajo presentamos nuevas caracterizaciones de matrices inversa-positiva. Analizamos también el concepto inversa-positiva para un tipo particular de patrón de signos: el patrón 'checkerboard'.
La suma sub-directa de matrices es una generalización de la suma habitual de matrices. Fue introducida por C. Johnson y S. Fallat y aparece de un modo natural en completación de matrices y subdominios solapados en métodos de descomposición de dominios, entre otros contextos. También aparece en diversas variantes de precondicionamiento aditivo de Schwartz, y cuando se analizan métodos aditivos de Schwartz para cadenas de Markov. En este trabajo aportamos nuevos resultados acerca de la suma sub-directa de matrices con inversa positiva y de la suma sub-directa de las distintas clases de B-matrices, planteándonos las preguntas de Fallat y Johnson y respondiéndolas para las clases de matrices mencionadas.
Johnson, estudió los posibles patrones de signos de una matriz compatibles con el hecho de que tenga su inversa positiva. Siguiendo sus resultados, analizamos el concepto inversa-positiva para un tipo particular de patrón: el patrón 'checkerboard'. Estudiamos también en esta memoria la condición de inversa-positiva de matrices triangulares inferiores (superiores) con patrón 'checkerboard'.
El producto Hadamard de matrices ha sido investigado por diversos autores. Nuestro propósito aquí es estudiar si el producto Hadamard de A y B y de A con la inversa de B cuando A y B son matrices inversa-positiva es también una matriz inversa-positiva. Respecto a los patrones de signos, nos centraremos especialmente en el patrón 'checkerboard'. Estudiamos también el producto Hadamard para las B-matrices y sus clases relacionadas (DB-matriz, B0-matriz y |B|-matriz).
En este manuscrito se aportan también algunos nuevos resultados sobre la completación de B-matrices parciales. Introduciremos una serie de restricciones de los valores de las entradas de las matrices parciales, de los signos de las mismas o de sus grafos asociados con el fin de cerrar el problema en algunas direcciones.
