Resumen de Optimización del problema de valor propio inverso para matrices estructuradas

Silvia Viviana Gigola

• Un área importante de la Matemática Aplicada es el Análisis Matricial dado que muchos problemas pueden reformularse en términos de matrices y de así facilitar su resolución. El problema de valor propio inverso consiste en la reconstrucción de una matriz a partir de datos espectrales dados. Este tipo de problemas se presenta en diferentes áreas de la ingeniería y surge en numerosas aplicaciones. En esta tesis se resuelve el problema de valor propio inverso para tres tipos específicos de matrices.

  Los problemas de valores propios inversos han sido estudiados tanto desde los puntos de vista teórico, numérico como del de las aplicaciones. Un problema de valor propio inverso adecuadamente planteado debe satisfacer restricciones referidas a los datos espectrales y a la estructura deseada.

  Dada una matriz X y una matriz diagonal D, se buscan soluciones de la ecuación AX = XD siendo A una matriz con una determinada estructura. A partir de estas restricciones sobre la matriz A surgen una variedad de problemas de valores propios inversos.

  El problema para el caso de una matriz A hermítica y reflexiva o antireflexiva con respecto a una matriz J tripotente y hermítica ha sido resuelto por L. Lebtahi y N. Thome. En el Capítulo 2 de esta memoria se extiende este trabajo al caso de una matriz A hermítica y reflexiva con respecto a una matriz J {k +1}-potente y normal. En el Teorema 2.2.1 se dan las condiciones bajo las cuales el problema tiene solución y se proporciona la forma explícita de la solución general. Además, si el conjunto de soluciones del problema de valor propio inverso es no vacío, se resuelve el problema de Procrustes asociado.

  Las matrices Hamiltonianas y antiHamiltonianas aparecen en la resolución de importantes problemas de la Teoría de Sistemas y Control. El problema de valor propio inverso para matrices hermíticas y Hamiltonianas generalizadas fue analizado por Z. Zhang, X. Hu y L. Zang. Más tarde, Z. Bai consideró el caso de matrices hermíticas y antiHamiltonianas generalizadas. En ambos casos se estudió el problema de valor propio inverso y el problema optimización. Una extensión de las matrices Hamiltonianas son las matrices J-Hamiltonianas, y corresponden a una de las aportaciones originales que se realizan en esta memoria. En los Capítulos 3 y 4 de esta tesis se estudian el problema de valor propio inverso para matrices normales J-Hamiltonianas y para normales J-antiHamiltonianas. Para la resolución del caso de las matrices normales y J-Hamiltonianas se presentan cuatro métodos diferentes. Los dos primeros métodos son generales, dan condiciones para que el problema tenga solución. El tercer método se formaliza en el Teorema 3.2.2 que proporciona las condiciones bajo las cuales el problema tiene solución y se presentan infinitas soluciones del mismo. Todas las soluciones se obtienen con el último método. El principal resultado se da en el Teorema 3.2.3. Una sección completa está dedicada a la resolución del problema de optimización de Procrustes asociado.

  La organización de esta tesis es la siguiente: Capítulo 1 contiene una introducción al problema de valor propio inverso y al problema de Procrustes.

  En el Capítulo 2 se estudia el problema de valor propio inverso para una matriz hermítica y reflexiva con respecto a una matriz normal {k + 1}-potente, así como también el problema de optimización de Procrustes asociado. Además, se propone un algoritmo que resuelve el problema de Procrustes y se da un ejemplo que muestra el funcionamiento del mismo.

  El problema de valor propio inverso para una matriz normal y J-Hamiltoniana se resuelve en el Capítulo 3 usando distintos métodos y además se considera el problema de optimización de Procrustes asociado. Se propone un algoritmo que sirve para calcular la solución del problema de optimización y se presentan algunos ejemplos.

  En el Capítulo 4, en base a los resultados obtenidos en el Capítulo 3, se aborda el problema de valor propio inverso para matrices J-antiHamiltonianas.