Códigos de grupo. Conjuntos de información. Decodificación por permutación.

• Autores: José Joaquín Bernal Buitrago
• Directores de la Tesis: Juan Jacobo Simón Pinero (dir. tes.) , Ángel del Río Mateos (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Murcia ( España ) en 2011
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Josep Rifa Coma (presid.) , Gema María Díaz Toca (secret.) , Carlos Galindo Pastor (voc.) , Consuelo Martínez López (voc.) , Concepción Martínez Pérez (voc.)
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• Resumen

  • La Teoría de la Información nació a mediados del siglo XX como respuesta a la necesidad de establecer un marco teórico-práctico para la codificación de información en un nuevo contexto tecnológico. Esta teoría es aplicada en diversas situaciones en las que un mensaje es transmitido por un emisor, a través de un canal de comunicación, hasta un receptor. Existen varias razones razones para codificar la información antes de ser transmitida, que dividen la Teoría de la Información en otros tantos campos de estudio. Una de ellas es la de transformar el mensaje original de modo que se puedan corregir, o al menos detectar, las posibles alteraciones de que pueda ser objeto durante la transmisión. Esta razón es la base de la teoría de códigos correctores de errores, o simplemente, Teoría de Códigos, dentro de la cual se encuadra esta tesis.

    Para una transmisión eficiente es necesario que los procesos de codificación y decodificación sean rápidos. Por ello es útil que los códigos tengan estructuras que puedan ser utilizadas en su implementación. La mayoría de los códigos utilizados en la práctica tienen una estructura algebraica, combinatoria o geométrica, que resulta de gran utilidad tanto para el estudio de sus características como en el diseño de procedimientos de codificación y decodificación efectivos.

    La Teoría de Códigos Algebraicos es el marco teórico cuando dichas estructuras son de carácter algebraico y es en ella donde se sitúa nuestro trabajo.

    La estructura sobre la que se centra nuestro estudio es la de código de grupo.

    A grandes rasgos, un código de grupo (por un lado) es un código lineal que puede verse como un ideal (por un lado) en un álgebra de grupo, de un grupo finito, con coeficientes en un cuerpo finito. Son códigos de grupo: los códigos cíclicos, los códigos de Reed-Muller generalizados, los códigos extendidos por paridad de los códigos de Golay, de los códigos de Reed-Solomon en sentido restringido y de los códigos de residuos cuadráticos, etc. Como resultado principal de la primera parte de la tesis, mostramos un criterio genérico para decidir si un código lineal dado es o no código de grupo o código de grupo por un lado, y en caso de que lo sea, determinar para qué grupos lo es. Como aplicación de este criterio presentamos una familia de grupos, la cual extiende a la familia de los grupos abelianos, tales que todo código de grupo, para un grupo de dicha familia, es un código de grupo abeliano.

    Posteriormente aplicamos los resultados obtenidos para estudiar las estructuras de código de grupo para dos amplias familias de códigos; a saber, la familia de los códigos de Cauchy y la de los códigos afín-invariantes. Estas familias de códigos engloban a los códigos BCH en sentido restringido y sus extendidos por paridad y los códigos generalizados de Reed-Muller. Debido a sus buenas propiedades, esta familias han sido estudiadas por diversos autores.

    En la segunda parte de la tesis abordamos el estudio de la decodificación por permutación en códigos abelianos. Este método de decodificación utiliza un conjunto, llamado PD-conjunto, contenido en el grupo de automorfismos por permutación del código y asociado a un conjunto de información prefijado. Así, es necesario disponer de métodos para determinar conjuntos de información. En 1 primer lugar mostramos un algoritmo de cálculo de conjuntos de información para un código abeliano semisimple arbitrario. En segundo lugar, utilizando las propiedades de dichos conjuntos, establecemos varias condiciones suficientes para la existencia de PD-conjuntos respecto de ellos. En particular, aplicamos estos resultados al caso de códigos cíclicos que pueden ser interpretados como códigos abelianos multidimensionales y obtenemos así, códigos cíclicos decodificables por permutación con mejores parámetros que cualquier otro código cíclico que lo sea respecto de los conjuntos de información utilizados usualmente.

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