Resumen de Estudio de la clase de matrices {k,s+1}-potentes
José Oscar Romero Martínez
En esta tesis doctoral se han introducido y analizado de manera exhaustiva una nueva clase de matrices denominada matrices {K,s+1}-potentes. Estas matrices contienen como casos particulares las matrices {s+1}-potentes, periódicas, centrosimétricas, mirrorsimétricas, circulantes, etc. Estos últimos tipos de matrices son de gran utilidad en diferentes áreas tales como transmisión de líneas multiconductor, antenas, ondas, sistemas eléctricos y mecánicos, y teoría de la comunicación, entre otros. En el capítulo 1 se han presentado algunos resultados básicos. En el capítulo 2 se han obtenido diferentes propiedades de las matrices {K,s+1}-potentes relacionadas con la suma, el producto, la inversa, la adjunta, la semejanza y la suma directa. Posteriormente, se han encontrado caracterizaciones de las matrices {K,s+1}-potentes desde distintos puntos de vista: usando teoría espectral, mediante potencias de matrices, a partir de inversas generalizadas, y mediante una representación por bloques de una matriz de índice 1. Luego, en el capítulo 3, se ha relacionado la clase de matrices introducida con diferentes clases de matrices complejas conocidas en la literatura, a saber: matrices {K}-hermíticas, proyectores {s+1}-generalizados, matrices unitarias, matrices normales, centrosimétricas {K}-generalizadas, etc. Con la intención de construir de manera efectiva matrices de esta clase, en el capítulo 4 se han diseñado algoritmos tanto en el caso s mayor o igual a 1 y el caso s=0. Primero se construyen matrices en esta clase a partir de información espectral de la matriz involutiva K. Utilizando este algoritmo se pueden construir más ejemplos. Concretamente, se hallan matrices {K,s+1}-potentes que conmutan con las encontradas anteriormente, y mediante estos dos algoritmos, se puede realizar el análisis de combinaciones lineales de matrices de este tipo. Por otra parte, para los casos s mayor o igual a 1 y s=0 se ha resuelto el problema inverso de calcular las matrices involutivas K que satisfacen la ecuación matricial que se está tratando. También en este caso se han presentado métodos numéricos que lo resuelven. Por último, en este capítulo se incluyen ejemplos numéricos para mostrar las prestaciones de los métodos desarrollados. En el capítulo 5, se extiende el estudio anterior al caso de matrices {K,-(s+1)}-potentes, completando así todos los valores de s enteros posibles. Especial énfasis se ha puesto en el análisis espectral de estas clases de matrices. La tesis finaliza con un anexo en el que se indican las conclusiones finales y las líneas futuras.
