Resumen de Sobre el género real de grupos finitos

Carmen Cano Sarabia

• Todo grupo .nito G puede actuar como un grupo de automor.smos de distintas super.cies de Riemann y de Klein. Esto plantea el problema de cuál es el mínimo género de las super.cies sobre las que cada grupo particular G puede actuar. Según el tipo topológico de las super.cies que consideremos aparecenvarios conceptos relacionados entre sí. Empecemos considerando las super.cies de Riemann, es decir, las super.cies orientables y sin borde. Se llama género simétrico,(G), al mínimo género de las super.cies sobre las que G actúa como un grupo de automor.smos, posiblemente invirtiendo la orientación. Si nos restringimos a los elementos que preservan la orientación, aparece el concepto de género simétrico fuerte, (G).

  Consideremos ahora las super.cies de Klein no orientables y sin borde. Recibe el nombre inglés de symmetric crosscap number, eTodo grupo .nito G puede actuar como un grupo de automor.smos de distintas super.cies de Riemann y de Klein. Esto plantea el problema de cuál es el mínimo género de las super.cies sobre las que cada grupo particular G puede actuar. Según el tipo topológico de las super.cies que consideremos aparecenvarios conceptos relacionados entre sí. Empecemos considerando las super.cies de Riemann, es decir, las super.cies orientables y sin borde. Se llama género simétrico, G), al mínimo género de las super.cies sobre las que G actúa como un grupo de automor.smos, posiblemente invirtiendo la orientación. Si nos restringimos a los elementos que preservan la orientación, aparece el concepto de género simétrico fuerte, (G).

  Consideremos ahora las super.cies de Klein no orientables y sin borde. Recibe el nombre inglés de symmetric crosscap number, e(G), al mínimo género de estas super.cies sobre las que G actúa.

  Por último, sean las super.cies de Klein con borde, orientables o no. El mínimo género algebraico de estas super.cies sobre las que G actúa como grupo de automor.smos se llama género real, (G), y el estudio de este parámetro es el objeto principal de esta tesis. Este problema es equivalente al problema de encontrar un mínimo para el área (reducida) de un grupo NEC que admite grupos de super.cie con borde como subgrupos normales y para el que se puede construir el epimor.smo : ! G cuyo núcleo es .. un grupo NEC de super.cie.con borde, de manera que G = . .Por otro lado, obsérvese también que hay una cota inferior para el género real en términos de su orden. La mínima área reducida para un grupo NEC que contiene un grupo NEC de superfcie con borde como subgrupo normal es 1/12, correspondiendo a un grupo NEC con signatura (0; +; [..]; f(2; 2; 2; 3)g).

  Por tanto (G) = 1 + jGj =12. Los grupos que alcanzan esta cota se denominan M-grupos; estos grupos son precisamente los grupos de automor.smos de super.cies de Klein con máxima simetría.

  En el estudio del género real principalmente se plantean los siguientes problemas:

  1. Fijada una familia de grupos .nitos, determinar el género real de cada uno de ellos.

  Varias familias in.nitas de grupos han sido estudiadas por May: los grupos cíclicos, dihedrales, los grupos dicíclicos, varios tipos de 2-grupos como los grupos cuasidihedrales, hiperdihedrales y cuasiabelianos; los grupos metacíclicos; o los grupos simples PSL(2; q). Además varios productos directos CnG siendo G un grupo generado por un par de elementos, uno de ellos una involución, con jGj coprimo con n; han sido estudiados por May: Cm QDn para m impar, siendo QDn el 1 grupo quasidihedral de orden 2n; Cm QAn para m impar, siendo QAn el grupo quasiabeliano de orden 2n; Cm PSL(2; 7) para m coprimo con 42; y Cm PSL(2; 8) para m coprimo con 42.

  Y varios productos semidirectos de grupos cíclicos Cp Cn son construidos y resultan ser muy interesantes porque algunos de ellos tienen género real par. Con estas construcciones se cubren 403337 de las clases de congruencia módulo 480480, esto es, más de 5/6 del total de los enteros positivos son el género real de algún grupo.

  G), al mínimo género de estas super.cies sobre las que G actúa.

  Por último, sean las super.cies de Klein con borde, orientables o no. El mínimo género algebraico de estas super.cies sobre las que G actúa como grupo de automor.smos se llama género real, (G), y el estudio de este parámetro es el objeto principal de esta tesis. Este problema es equivalente al problema de encontrar un mínimo para el área (reducida) de un grupo NEC que admite grupos de super.cie con borde como subgrupos normales y para el que se puede construir el epimor.smo : ! G cuyo núcleo es .. un grupo NEC de super.cie.con borde, de manera que G = .. .Por otro lado, obsérvese también que hay una cota inferior para el género real en términos de su orden. La mínima área reducida para un grupo NEC que contiene un grupo NEC de superfcie con borde como subgrupo normal es 1/12, correspondiendo a un grupo NEC con signatura (0; +; [..]; f(2; 2; 2; 3)g).

  Por tanto (G) = 1 + jGj =12. Los grupos que alcanzan esta cota se denominan M-grupos; estos grupos son precisamente los grupos de automor.smos de super.cies de Klein con máxima simetría.

  En el estudio del género real principalmente se plantean los siguientes problemas:

  1. Fijada una familia de grupos .nitos, determinar el género real de cada uno de ellos.

  Varias familias in.nitas de grupos han sido estudiadas por May: los grupos cíclicos, dihedrales, los grupos dicíclicos, varios tipos de 2-grupos como los grupos cuasidihedrales, hiperdihedrales y cuasiabelianos; los grupos metacíclicos; o los grupos simples PSL(2; q). Además varios productos directos CnG siendo G un grupo generado por un par de elementos, uno de ellos una involución, con jGj coprimo con n; han sido estudiados por May: Cm QDn para m impar, siendo QDn el 1 grupo quasidihedral de orden 2n; Cm QAn para m impar, siendo QAn el grupo quasiabeliano de orden 2n; Cm PSL(2; 7) para m coprimo con 42; y Cm PSL(2; 8) para m coprimo con 42.

  Y varios productos semidirectos de grupos cíclicos Cp Cn son construidos y resultan ser muy interesantes porque algunos de ellos tienen género real par. Con estas construcciones se cubren 403337 de las clases de congruencia módulo 480480, esto es, más de 5/6 del total de los enteros positivos son el género real de algún grupo.