Resumen de Developments in maximum entropy approximants and application to phase field models
Adrian Martín Rosolen
Los aproximantes de máxima entropía local pertenecen a la familia de métodos sin malla, son óptimos desde el punto de vista de teoría de la información, y se caracterizan por la no negatividad y suavidad de las funciones de forma. Este carácter no negativo unido a la capacidad de reproducir en forma exacta funciones afines dota a los esquemas de aproximación con una estructura propia de geometría convexa. Los aproximantes presentan también ciertas ventajas en comparación a otros métodos sin malla, como ser la posibilidad de imponer directamente condiciones de contorno de Dirichlet, la propiedad de variación decreciente, y la ausencia de oscilaciones, que introducen dificultades en la integración numérica. En esta tesis se presentan nuevos desarrollos para la familia de aproximantes de máxima entropía. Además, se propone un método para resolver ecuaciones en derivadas parciales de cuarto orden que modelan la mecánica de biomembranas a través de una aproximación de campo de fase.
A continuación se enumeran las contribuciones más significativas de esta tesis. En primer lugar, se propone un método racional para determinar el tamaño de soporte óptimo de las funciones de forma de máxima entropía local. Dicho método está basado en conceptos de adaptividad variacional y es aplicable a problemas modelados con ecuaciones diferenciales obtenidas a partir de un principio de mínimo. En segundo lugar, se formula un esquema de máxima entropía no negativo de segundo order que siempre satisface las condiciones de factibilidad. Este nuevo esquema permite generar funciones de forma para distribuciones de puntos no estucturadas y no uniformes. En tercer lugar, se propone un esquema de aproximación que combina el análisis isogeométrico y los aproximantes de máxima entropía local. Este nuevo esquema reúne las mejores características de ambos métodos: la alta fidelidad para representar el borde del dominio (geometría de CAD exacta) propia del análisis isogeométrico, y la facilidad para discretizar volumétricamente con distribuciones de puntos considerando posible refinamiento local. En último lugar, se presenta una estrategia adaptativa para calcular soluciones numéricas de un modelo de campo de fase de cuarto orden que modela la mecánica de biomembranas. La suavidad de los aproximantes de máxima entropía local, su monotonicidad, y su habilidad para tratar distribuciones de puntos no uniformes permite discretizar el problema con el método de Galerkin y resolver con precisión los cambios bruscos de frente generados por el modelo de campo de fase.
