Cálculo de escisión de separatrices y regiones de estabilidad usando multiprecisión: el microtrón y la singularidad hopf-zero

• Autores: Oswaldo José Larreal Barreto
• Directores de la Tesis: María Teresa Martínez-Seara i Alonso (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) ( España ) en 2011
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Àngel Jorba i Monte (presid.) , Rafael Ramírez Ros (secret.) , Youri Koubychine Merkulov (voc.) , Alex Haro Provinciale (voc.) , José María Mondelo González (voc.)
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• Resumen

  • La presente memoria se desarrolla con la idea de encontrar la frontera de la región de estabilidad para aplicaciones conservativas del plano que tienen dos puntos fijos uno elíptico y otro hiperbólico, el trabajo está enfocado sobre la aplicación que modela el cambio de fase y energía en el acelerador de partículas microtrón la cual dada por:

    $$ \delta\phi_{n+1}-\delta\phi_{n}=2\pi\nu\frac{\delta W_{n}}{\Delta W}\; , \delta W_{n+1}-\delta W_{n}=\Delta W_{0}\cos(\phi_{s}+\delta\phi_{n+1})-\Delta W $$ donde la fase de error es $\delta\phi_{n}$ con respecto a la fase síncrona $\phi_{n}$ en la $n$-esima vuelta, la fase de error del excedente de energía es $\delta W_{n}$, $\Delta W$ y $\nu$ son las constantes $2$ y $1$ respectivamente, $\Delta W_0=\Delta W/ \cos(\phi_{s})$ y $\phi_{s}$ es el parámetro.

    En una primera etapa del trabajos nos dedicamos a verificar que efectivamente la fórmula del ángulo en la primera intersección entre las variedades estable e inestable del punto fijo hiperbólico esta dada por:

    $$ \alpha(h) \asymp\frac{-4.45904\times 10^7\;e^{\frac{-2\pi^2}{h}}}{h^8} $$ lo cual indica que este ángulo es exponencialmente pequeño cuando el parámetro $h(\phi_s)$ es pequeño. Esto mismo indica que las variedades del punto fijo hiperbólico no pueden ser la frontera de la región de estabilidad.

    Usamos dos técnicas para aproximar la frontera de la región de estabilidad.

    La primera es la interpolación por hamiltoniano la cual tiene una dependencia directa con el parámetro $h$ cuando el parámetro no es muy pequeño no podemos obtener una buena aproximación a la frontera.

    Y la segunda son los numeros de rotación, esta técnica a diferencia de la anterior si permite dar una buena aproximar a la frontera independientemente si el parámetro no es pequeño. Por supuesto ambas involucra realizar un estudio de como varia la aplicación con el parámetro para garantizar la existencia de curvas invariantes para esto usamos el teorema del Twist de Moser y el Teorema de Forma Normal.

    La segunda fase del trabajo está enfocado en el cálculo de escisión de separatrices de las variedades 1-dimensional con el plano XY de la bifurcación Hopf-Zero.

    Se considera la familia:

    $$ \left\lbrace \begin{array}{ccl} \frac{dx}{dt} & = & -\delta xz-y(\alpha +c\delta z)+\delta^{p+1}f(\delta x,\delta y,\delta z,\delta)\\ \frac{dy}{dt} & = & -\delta yz+x(\alpha +c\delta z)+\delta^{p+1}g(\delta x,\delta y,\delta z,\delta)\\ \frac{dz}{dt} & = & \delta(-1+b(x^2+y^2)+z^2)+\delta^{p+1}h(\delta x,\delta y,\delta z,\delta)\end{array}\right.$$ donde $f$, $g$ y $h$ son funciones reales analíticas, de orden mayor o igual que 3; $\alpha$, $b$ y $c$ son constantes y $\delta>0$ es un parámetro pequeño. En el artículo: I. Baldomá and T. M. Seara. Breakdown of heteroclinic orbits for some analytic unfoldings of the hopf-zero singularity. J. Nonlinear Sci16(6):543:582,2006. Se muestra cual es la fórmula que corresponde a la distancia entre las variedades 1-dimensional sobre el plano Z=0, de los dos puntos fijos hiperbólico cuando $p>-2$. En estas memoria se trata el problema cuando $p=-2$ de una forma numérica, mostramos algunos ejemplos en los cuales hemos fijados las constantes $\alpha$, $b$ y $c$ y las funciones $f$, $g$ y $h, por un lado verificamos la fórmula dada en el artículo Breakdown of heteroclinic orbits for some analytic unfoldings of the hopf-zero singularity cuando $p>-2$, y por otro obtenemos la fórmula cuando $p=-2$.