Reducibility of quasi-periodic skew-products and the spectrum of schrödinger operators

• Autores: Joaquim Puig i Sadurní
• Directores de la Tesis: Carles Simó (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2004
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Àngel Jorba i Monte (presid.) , Amadeu Delshams Valdés (secret.) , Henk W. Broer (voc.) , Rafael de la Llave Canaso (voc.) , Hakan Eliasson (voc.)
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• Resumen

  • En esta tesis estudiamos la reducibilidad y otras propiedades dinámicas de "skew-productos" lineales cuasiperiódicos, especialmente aquellos que provienen de ecuaciones de valores propios de operadores unidimensionales y cuasiperiódicos de Schrödinger. Para ello, combinamos métodos dinámicos y espectrales para dar un enfoque unificado y nuevos resultados, tanto desde el punto de vista dinámico como el espectral. Como ejemplo de esta combinación, en esta tesis demostramos el "Problema de los Diez Martinis" propuesto en 1981 por Kac y Simon.

    Los dos primeros capítulos contiene preliminares, mientras que los otros cuatro resultados novedosos. En el primero introducimos conceptos básicos como los "skew-products" y cociclos cuasiperiódicos, la reducibilidad a coeficientes constantes y la teoría espectral de Sacker-Sell. El segundo acpítulo se centra en los operadores de Schrödinger, ya sean continuos o discretos, y sus ecuaciones de valores propios, que llamamos ecuación de Hill cuasiperiódica (en el caso continuo) o de tipo Harper (en el caso discreto).

    El tercero y el cuarto capítulos tratan de la estructura de las llamadas "lenguas de resonancia" en ecuaciones de Hill cuasiperiódicas cuyos potenciales son analíticos reales, pequeños y con frecuencias diofánticas. Desde el punto de vista de operadores de Schrödinger, este estudio es equivalente a la de la estructura de los agujeros espectrales en el espectro de dichos operadores. En el tercer capítulo, se usa la teoría de formas normales para mostrar la diferenciabilidad infinita de las fronteras de las lenguas de resonancia de un modo constructivo. En el cuarto, demostramos el carácter analítico real de estas, usando un método KAM que puede adaptarse en otros modelos. Como aplicación demostramos la genericidad de "tener todos los agujeros abiertos" para operadores cuasiperiódicos de Schrödinger.

    En el quinto y sexto capítulos estudiamos operadores cuasip