Resumen de Invariantes de singularidades en característica positiva
Invariantes de singularidades en característica positiva Angélica Benito Sualdea Director: Orlando E. Villamayor Uriburu Resumen: La presente tesis doctoral aborda uno de los problemas centrales de la geometría algebraica: el problema de resolución de singularidades, es decir, dada una variedad algebraica X, decidir si existe una variedad X1 junto con un morfismo birracional y propio .
En la memoria se trata el caso de característica positiva (problema que sigue abierto desde principios del siglo XX), en ella se introducen nuevos invariantes de la singularidad siguiendo la línea iniciada en [Vi] y [BrVi]. En la primera parte de la tesis se estudia a fondo el marco de trabajo desarrollado por Villamayor en [Vi], dando lugar a la demostración de que cierto invariante de la singularidad (el invariante tau de Hironaka) tiene un buen comportamiento con eliminación, este resultado se recoge en [Be].
La segunda parte de la tesis se dedica a definir y estudiar nuevos invariantes propios de la singularidad en característica positiva. Las técnicas desarrolladas en esta memoria son la base de las ideas tratadas en [BeVi1], donde se demuestra resolución de singularidades si ciertas condiciones numéricas se satisfacen (caso fuertemente monomial). Otra aplicación de las ideas de la tesis y de [BeVi1] se encuentra en [BeVi2], donde se demuestra resolución de singularidades en el caso de superficies. Los anteriores resultados se pueden generalizar a situaciones más generales (como resolución de cualquier esquema de dimensión 2) usando los resultados expuestos en [BeVi3].
Bibliografía: [Be] A. Benito, The ¿-invariant and elimination, J. Algebra, 324 (2010), 1903 - 1920.
[BeVi1] A. Benito, O. E. Villamayor U., Techniques for the study of singularities with applications to resolution of 2-dimensional schemes, Math. Ann. 353 (2012), no. 3, 1037 - 1068.
[BeVi2] A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Aceptado para su publicación en Compositio Mathematica.
[BeVi3] A. Benito, O. E. Villamayor U., On elimination of variables in the study of singularities in positive characteristic. Preprint 2011. Disponible en: http://arxiv.org/abs/1103.3462 [BrVi] A. Bravo, O. E. Villamayor U., Singularities in positive characteristic, stratification and simplification of the singular locus, Adv. Math., 224 (4) (2010) 1349 - 1418.
[Vi] O. E. Villamayor U., Hypersurface singularities in positive characteristic, Adv. Math. 213 (2007), no. 2, 687 - 733.
