Study of the effect of conservative and weackly dissipative perturbations on symplectic maps and hamiltonian systems

• Autores: Arturo Vieiro Yanes
• Directores de la Tesis: Carles Simó (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2009
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Hendrik Wolter Broer (presid.) , Ernest Fontich Julià (secret.) , Vassili Gefreich (voc.)
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• Resumen

  • En este trabajo de tesis se estudian perturbaciones de sistemas Hamiltonianos y aplicaciones simplécticas. Se consideran perturbaciones que preservan la estructura simpléctica del sistema y perturbaciones disipativas. La metodología, adaptada a cada caso, se basa en la construcción de modelos analíticos que reflejan las características dinámicas relevantes a estudiar. También se han implementado diversos algoritmos numéricos para completar y contrastar el estudio teórico y para intentar entender de manera global la dinámica del sistema.

    El objetivo final del trabajo es proporcionar una descripción cuantitativa y global del espacio de fase de un sistema conservativo o débilmente disipativo. Sigue así las directrices marcadas por Poincaré para el análisis de un sistema dinámico, determinando los objetos invariantes relevantes que organizan la dinámica (el esqueleto del sistema). Notamos que, tradicionalmente, este estudio se ha realizado desde un punto de vista cualitativo. A continuación describimos brevemente qué entendemos por descripción cuantitativa y global del espacio de fase.

    El estudio del espacio de fase tiene como objetivo describir el esqueleto del sistema y sus posibles bifurcaciones. En particular, este estudio permite obtener una descripción geométrica y determinar así propiedades dinámicas del sistema. Sin embargo, si se pretende realizar experimentos físicos no es suficiente conocer, por ejemplo, que el espacio de fase presenta una zona caótica sino que hace falta dar información de la medida de la misma, de la probabilidad de estar en una subregión de ésta, describir cómo evoluciona la zona respecto los parámetros representativos del sistema, obtener información de la medida de las zonas estables dentro de la región a priori caótica,... Éste es el tipo de cuestiones cuantitativas a las que sistemáticamente nos enfrentamos a lo largo del trabajo.

    Por otro lado, se ha pretendido describir globalmente la dinámica. Observamos que para dar una descripción global hay que entender los diferentes regímenes perturbativos locales y las interacciones entre los objetos del espacio de fase de las diferentes aproximaciones. La falta de técnicas analíticas globales hace que la mayoría de estudios realizados en esta dirección estén basados en técnicas numéricas.

    Los resultados obtenidos deben considerarse como un primer paso de cara a la descripción global cuantitativa de un sistema conservativo o débilmente disipativo. En particular, el estudio se centra en perturbaciones de aplicaciones del plano que preservan área (APMs). Cabe observar que muchas de las técnicas utilizadas pueden ser adaptadas al estudio de sistemas de dimensión superior.

    Con el fin de detallar los principales resultados teóricos y numéricos resumimos a continuación el contenido de cada uno de los capítulos en que la memoria ha sido estructurada:

    Capítulo 0: Es un capítulo preliminar que contiene algunas propiedades básicas de las aplicaciones simplécticas, introduce la aplicación de Hénon y describe brevemente la dinámica de ésta. La aplicación de Hénon ha sido utilizada a lo largo de todo el trabajo, ya sea en su versión conservativa o débilmente disipativa, para ilustrar los diferentes resultados teóricos o como ejemplo, paradigma de las APMs, en el estudio numérico del espacio de fase.

    Capítulo 1: En este capítulo se estudia el espacio de fase de una APM alrededor de un punto fijo elíptico. Usando técnicas perturbativas de forma normal se consigue una descripción precisa de las zonas resonantes. La dinámica en estas zonas se aproxima por un flujo Hamiltoniano adecuado acotándose el error entre la aproximación realizada y la dinámica real del sistema.

    El resultado más relevante proporciona una descripción cuantitativa de la escisión de las separatrices que forman las islas resonantes en el espacio de fase. Se demuestra que, genéricamente, para resonancias débiles, la escisión de las variedades exteriores de la isla resonante es más grande que el ángulo que crea la escisión de las separatrices interiores, al menos en un entorno adecuado del punto fijo elíptico de la cual bifurcan los puntos periódicos asociados a la estructura resonante. Por otro lado, se generaliza el anterior resultado al caso de resonancias fuertes para cualquier APM. Se analiza con detalle el caso degenerado de la resonancia 1:4 de Hénon. A modo de conclusión se establece que, en el caso fuertemente resonante, la diferencia entre los ángulos de escisión de las variedades exteriores e interiores que forman la isla pueden ser de orden de magnitud diferente.

    Capítulo 2: Se estudia la dinámica en las zonas caóticas del sistema mediante diferentes modelos de retorno: la "separatrix map", la "doble separatrix map" y la "biseparatrix map". Los dos primeros modelos fueron introducidos con anterioridad y hoy en día son utilizados de manera sistemática para el estudio de las zonas caóticas cerca de las separatrices que las generan. En este trabajo los utilizamos para obtener una descripción cuantitativa de la zona caótica generada por las separatrices que confinan una isla resonante. La "doble separatrix map" tiene en cuenta el efecto de la reinyección de la dinámica en la zona estocástica. Se ilustra cómo usando una aproximación adecuada por un flujo se obtiene información sobre la distancia entre la separatriz y las curvas invariantes o sobre el número de islas de estabilidad en la zona caótica. En particular, se hace una descripción precisa de la situación en un régimen perturbativo del punto elíptico del cual bifurcan las islas resonantes y se analizan las consecuencias de la diferencia entre los ángulos de escisión interior-exterior en la amplitud de la zona caótica.

    Paralelamente a la realización de éste estudio de las zonas caóticas se obtuvieron resultados sobre la existencia de órbitas periódicas elípticas que visitan lóbulos homoclínicos (ver trabajos de C.Simó & D.Treshev y de A. Neishtadt citados en la bibliografía). Para la familia "separatrix map" de APMs demostramos que la medida en el espacio de parámetros de aplicaciones que tienen órbitas de este tipo está acotada inferiormente por una cantidad explícita. También, en la misma línea de resultados, obtenemos numéricamente información de estas órbitas en el caso de la resonancia 1:4 de la aplicación de Hénon.

    Por último, se analiza la dinámica en grandes zonas de inestabilidad (i.e, no necesariamente exponencialmente pequeñas como en el caso de las zonas caóticas que se crean en la escisión de separatrices) debidas a la interacción de diferentes resonancias. Es el caso, en particular, de las zonas de Birkhoff. Para obtener una descripción de la dinámica global en estas zonas introducimos la aplicación "biseparatrix map". La descripción que se obtiene no es completamente satisfactoria ya que es meramente cualitativa pues la obtención de información cuantitativa depende de parámetros que no son fáciles de determinar. Sin embargo, permite entender la fenomenologia que se da en el borde del dominio de estabilidad al evolucionar los parametros del sistema así como explicar la geometria de las zonas de Birkhoff con carácter "wist" y "no-twist".

    Capítulo 3: Se estudia la dinámica en el dominio de estabilidad de manera global. Se establece una metodologia, básicamente numérica pero fuertemente basada en los resultados y modelos teóricos de los capítulos anteriores, para estudiar la evolución respecto parámetros del dominio de estabilidad de cualquier familia de APMs. Se describe cómo la interacción de las resonancias lejos del punto elíptico que genera el dominio de estabilidad destruye la última curva invariante. Además, se analiza cómo esta interacción de resonancias afecta a la medida del dominio de estabilidad.

    Capítulo 4: Se considera el estudio de perturbaciones disipativas de APMs. Concretamente, se consideran perturbaciones radialmente disipativas. En primer lugar, se da una descripción topológica de la evolución de las estructuras resonantes al añadir la disipación. Después se generalizan los resultados de los capítulos 1 y 2 al caso considerado, adaptando los modelos adecuadamente. En particular, se obtiene información sobre los posibles ¿-límites de la dinámica en función de los parámetros relevantes del sistema y del parámetro disipativo. También, se obtiene información cuantitativa sobre la probabilidad de captura en las diferentes estructuras resonantes que sobreviven a la disipación. Por último, se proporciona una metodologia numérica que nos permite contrastar los resultados teóricos obtenidos usando modelos adecuados a cada situación geométrica de la zona resonante concreta.