Resumen de On the method of Bukhgeim for two-dimensional inverse problems

Jorge Tejero Tabernero

• En la presente tesis se considera el problema inverso de Gel’fand en el caso de dos dimensiones y se extiende el método de Bukhgeim para su resolución. El problema inverso de Gel’fand pertenece al campo de las ecuaciones en derivadas parciales y al análisis harmónico y plantea la reconstrucción de un potencial desconocido dentro de un dominio a partir de mediciones realizadas en la frontera de dicho dominio. El método de Bukhgeim considera el uso de soluciones oscilatorias con frecuencia cuadrática para reconstruir el potencial a través de razonamientos similares al método de fase estacionaria para aproximar integrales oscilatorias.

  El problema de Gel’fand, aparte de tener interés por sí mismo, es importante por su conexión con otros problemas inversos, por lo que su resolución permite abordar otra serie de preguntas. En esta tesis, además del problema de Gel’fand, también se abordan preguntas relacionadas con scattering inverso a energía fija y con el problema inverso de Calderón, donde se busca reconstruir la conductividad eléctrica de un objeto a partir de mediciones de voltajes y corrientes en la superficie del mismo.

  De forma más precisa, en la presente tesis se obtienen los siguientes resultados de carácter novedoso: - Reconstrucción de potenciales discontinuos en el problema de Gel’fand.

  - Reconstrucción de potenciales discontinuos en scattering inverso a energía fija.

  - Cota de estabilidad de potenciales discontinuos en el problema de Gel’fand.

  - Cota de estabilidad de potenciales discontinuos en scattering inverso a energía fija.

  - Reconstrucción de potenciales con mínima regularidad en el sentido de la norma de Sobolev L-2 en el problema de Gel’fand.

  - Unicidad del problema inverso de Calderón para conductividades con valores complejos y regularidad Lipschitz.

  Además, en la tesis también se exponen una serie de experimentos numéricos donde se estudia el desempeño de diferentes fórmulas de reconstrucción basadas en el método de Bukhgeim así como sus limitaciones.