Resumen de Complexity in physical, living and mathematical systems
Lucas Lacasa Saiz de Arce 
Esta tesis doctoral se engloba dentro del análisis de fenómenos emergentes en Sistemas Complejos. En primer lugar, recoge el estudio de fenómenos colectivos en sistemas complejos de diferente índole, entre los que se encuentran sistemas complejos sociales, sistemas ecológicos, redes de números, algoritmos estocásticos o sucesiones aritméticas. En segundo lugar, se proponen nuevos métodos para el análisis de este tipo de sistemas. Parte de este texto está basado en siete artículos publicados por el autor en revistas internacionales sometidas a arbitraje, y en otros dos artículos que están en proceso de revisión. El texto está organizado en tres capítulos que poseen tanto introducciones como discusión de resultados específicos. En el Capítulo 1 se estudia la emergencia de comportamientos colectivos en sistemas naturales. En la primera parte del capítulo se estudia el fenómeno colectivo de la formación de jerarquía en sociedades genéricas (humanas o animales) a través de simulaciones basadas en agentes. Se estudian dos modelos de formación de jerarquía (modelo de Bonabeau y modificación de Stauffer) desde un punto de vista tanto analítico como numérico. El primer modelo presenta una transición de fase que distingue una fase igualitaria y otra en donde la jerarquía se establece de forma abrupta. Desde un punto de vista numérico, las simulaciones concluyen que la transición está inducida por una amplificación de fluctuaciones estocásticas en la diversidad de los agentes. Utilizando tanto técnicas de estabilidad de sistemas dinámicos discretos como aproximaciones de campo medio, obtenemos resultados analíticos sobre la dinámica del sistema que concuerdan con los valores numéricos, y concluimos que según el modelo de Bonabeau, la igualdad social es un régimen matemáticamente inestable por encima de una densidad de población crítica. En una segunda parte estudiamos el problema de optimizar reservas ecológicas desde un punto de vista probabilístico. Asumiendo tasas de colonización uniformes, encontramos de forma analítica la distribución de áreas en un conjunto de r reservas que maximiza una variable global llamada biodiversidad. Para tasas no uniformes, corremos simulaciones de Monte Carlo, que sorprendentemente se desvían poco del resultado analítico. En el Capítulo 2 estudiamos diferentes sistemas aritméticos (algoritmos de números, series) que presentan fenómenos emergentes en un intento por desentrañar los mecanismos básicos que generan complejidad sistémica. En una primera parte presentamos un algoritmo estocástico que genera números primos, cuya abilidad evidencia una transición de fase. Presentamos simulaciones de Monte Carlo que describen la dinámica del sistema y obtenemos ciertos resultados analíticos utilizando teoría de números y aproximaciones 'annealed'. Conectamos los resultados de este algoritmo con otros comportamientos similares dentro de la Teoría de Complejidad Computacional. En una segunda parte presentamos un algoritmo similar al anterior, cuyo parámetro global tiene una dinámica crítica auto-organizada. De nuevo, resolvemos el sistema analíticamente empleando conjuntamente técnicas de física estadística y teoría de números, y damos cuenta de un nuevo mecanismo por el cual se puede generar dinámicas críticas auto-organizadas. En la última parte de este capítulo estudiamos la sucesión de números primos desde el punto de vista de los Sistemas Complejos. Hallamos un nuevo patrón estadístico en la distribución del primer dígito, que explicamos analíticamente. Encontramos que este patrón se repite en los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Basándonos en estos patrones, especulamos sobre las implicaciones de los mismos en campos como la detección de fraude financiero o el análisis bursátil. En el Capítulo 3 presentamos dos nuevos métodos para el análisis de sistemas complejos. El primero es el método de auto-solapamiento, un método computacional para el análisis de estabiliad de sistemas cooperativos que está inspirado en el famoso Damage Spreading, pero que reduce drásticamente tanto el tiempo de cómputo como los desarrollos analíticos. Chequeamos su fiabilidad estudiando tanto la estabilidad como las propiedades termodinámicas de un sistema de Glauber-Ising 2D. El segundo es el grafo de Visibilidad, un algoritmo que mapea series temporales a grafos. El estudio de los grafos asociados revela información no trivial y en ocasiones oculta en la serie, y constituye un nuevo método de análisis de series temporales. Aplicamos este método para calcular mediante métodos topológicos el exponente de Hurst en series fractales (movimiento fraccionario browniano y ruidos de color). Finalmente, en el último capítulo se plantean unas conclusiones generales y unas perspectivas, así como la lista de publicaciones derivadas de esta tesis doctoral.
