Superficies de curvatura media paralela en s^2xs^2 y h^2xh^2 y superficies de curvatura media constante en espacios homogéneos

• Autores: Francisco Torralbo
• Directores de la Tesis: Francisco Urbano Pérez-Aranda (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2010
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Joaquín Pérez Muñoz (presid.) , José Antonio Gálvez López (secret.) , Rabah Souam (voc.) , Pablo Mira Carrillo (voc.) , Laurent Hauswirth (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen

  • La memoria trata del estudio de superficies, principalmente dos son los problemas abordados: el estudio de las superficies de curvatura media paralela en el producto de dos esferas o dos planos hiperbólicos (capítulos 5 y 6) y el estudio de las superficies de curvatura media constante y curvatura de Gauss constante en 3-variedades homogéneas riemannianas con grupo de isometrías de dimensión 4 (capítulos 3, 4, 7 y 8), La primera familia de superficies que estudiamos en esta tesis doctoral son las superficies con vector curvatura media paralelo en las variedades de dimensión cuatro producto de dos esferas o dos planos hiperbólicos con la misma curvatura. Este concepto es la generalización natural de las superficies de curvatura media constante a codimensión mayor que uno. Las 4-variedades donde es tratado el problema son espacios simétricos y desde el punto de vista de su curvatura, las más simples después del espacio euclídeo, la esfera, el espacio hiperbólico de dimensión 4 y los planos proyectivos e hiperbólicos complejos donde el problema ya había sido tratado. En este caso, aunque existen hipersuperficies totalmente umbilicales, sólo las totalmente geodésicas (salvo congruencias, S^2 x R y H^2 x R) tienen curvatura media constante (cf. Proposición 1.1). Por tanto, la superficies de curvatura media constante de S^2 x R y H^2 x R son superficies con vector curvatura media paralelo en S^2 x S^2 y H^2 x H^2 respectivamente.

    Una de las herramientas fundamentales que hemos usado en esta memoria para su estudio es la construcción de dos diferenciales cuadráticas holomorfas sobre cualquier superficie de curvatura media paralela de S^2 × S^2 y H^2 × H^2 (cf. Definición 5.3) que generalizan a la diferencial de Abresch-Rosenberg en el sentido siguiente: si una superficie con curvatura media paralela de S^2 × S^2 (respectivamente de H^2 × H^2) factoriza a través de una superficie de curvatura media constante de S^2 × R (respectivamente de H^2 × R), entonces ambas diferenciales son iguales y además coinciden (salvo una constante) con la diferencial de Abresch-Rosenberg (ver Lema 5.1). Para la construcción de estas dos diferenciales se ha usado fuertemente las dos estructuras de variedad de Kähler que estas variedades de dimensión cuatro poseen (cf. Capítulo 1).

    La principal aportación en este estudio es la clasificación de las superficies de curvatura media paralela con la condición adicional de que su curvatura normal extrínseca sea nula (Teorema 6.3). En particular clasificamos aquellas superficies cuyas diferenciales cuadráticas son ambas nulas (Teorema 6.4) y más concretamente las esferas (Corolario 6.1). Además mostramos la estrecha relación entre este tipo de superficies y las superficies de curvatura media constante en S^2xR y H^2xR (Teorema 6.1) obteniendo en particular un resultado de rigídez local para superficies de curvatura media constante en dichos dos espacios (Corolario 6.3).

    El segundo problema abordado en la memoria es el estudio de las superficies de curvatura media constante y de curvatura de Gauss constante de 3-variedades homogéneas riemannianas.

    Respecto a la primera familia de superficies el primer problema abordado fue el encontrar ejemplos de superficies de curvatura media constante en las esferas de Berger y el grupo lineal especial, que eran los espacios ambientes menos estudiados. El capítulo 3 de esta memoria está dedicado a ello. En la sección 3.2 se describen explícitamente todos los toros llanos de curvatura media constante de las esferas de Berger y del grupo lineal especial. La sección 3.3 está dedicada a construir las superficies de rotación con curvatura media constante de las esferas de Berger y del grupo especial lineal (Teoremas 3.1 y 3.2), dando una descripción explícita de las esferas (Corolarios 3.1y 3.2) y obteniendo el área de las mismas (Proposición 3.5). Como resultados singulares cabe destacar que, en algunas esferas de Berger y en algunas métricas homogéneas del grupo lineal especial, existen ejemplos de esferas de curvatura media constante que tienen autointersecciones. Así mismo, en algunas esferas de Berger existen ejemplos de toros mínimos (esto es, que tienen curvatura media nula) diferentes del toro de Clifford y que no poseen autointersecciones. Esto prueba el distinto comportamiento de estas esferas con relación a la esfera usual, en donde a excepción del toro de Clifford, todos los toros mínimos tienen autointersecciones.

    Los ecuadores y el toro de Clifford (convenientemente situados en S3 ) no sólo son ejemplos de superficies mínimas en el esfera usual, sino que también son superficies mínimas en cualquier esfera de Berger. En la sección 3.4 caracterizamos aquellas superficies mínimas de S^3 que son también mínimas en cualquier esfera de Berger. La familia obtenida es no trivial y proporciona nuevos ejemplos de superficies mínimas en las esferas de Berger (cf. Teorema 3.3).

    Un segundo problema que se abordó fue la clasificación de las superficies compactas de curvatura media constante estables y el problema isoperimétrico (capítulos 7 y 8) de las esferas de Berger, el grupo lineal especial y el grupo de Heisenberg. Cuando se intentan abordar problemas de estabilidad es necesario disponer de apropiadas funciones test para ser usadas en la forma cuadrática de la segunda variación del área, así como un control de la integral del cuadrado de la curvatura media. A veces estas funciones son restricciones a la superficie de funciones del espacio ambiente, por lo que cuanto más bondadoso sea el espacio ambiente mayores posibilidades de éxito tendremos. Por tanto es interesante ver a nuestras 3-variedades ambiente como hipersuperfies naturales de 4-variedades con buenas propiedades geométricas. Aunque más o menos esto era un hecho conocido, no estaba bien escrito en la literatura y, por tanto, en el capítulo 2 probamos que las esferas de Berger son las esferas geodésicas del plano proyectivo complejo y del plano hiperbólico complejo, que el grupo lineal especial con sus diferentes métricas homogéneas son los tubos sobre hiperplanos complejos del plano hiperbólico complejo y que el grupo de Heisenberg es la horoesfera del plano hiperbólico complejo (cf. Proposiciones 2.2, 2.3 y 2.4). Estas hipersuperficies de los planos proyectivo e hiperbólico complejos son exactamente las llamadas hipersuperficies pseudo-umbilicales (en estos espacios no existen hipersuperficies umbilicales). Esta manera de ver a los espacios homogéneos anteriormente citados será fundamental para obtener los resultados de estabilidad del capítulo 8.

    El capítulo 7 se encarga de estudiar la estabilidad de las superficies compactas de curvatura media constante más regulares, entendiendo por tal las que deberían ser las candidatas a ser las únicas estables. En concreto en el Teorema 7.1 se prueba que todas las esferas con curvatura media constante del grupo lineal especial y del grupo de Heisenberg son estables, mientras que hay esferas de Berger en las que no todas sus esferas de curvatura media constante son estables. Esto no resulta sorprendente, pues Souam ya probó que una propiedad similar ocurre con las esferas de curvatura media constante de S^2xR. Es interesante destacar que la demostración de estos resultados pasa por probar una propiedad general que afirma que la forma cuadrática de la segunda variación del área de cualquier esfera con curvatura media constante de un espacio homogéneo riemanniano con grupo de isometrías de 4 o bien la esfera o el espacio euclídeo estándar es siempre la misma. En particular el índice y la nulidad de estas formas cuadráticas es siempre 1 y 3 respectivamente (cf. Proposición 7.1).

    En las Proposiciones 7.2 y 7.3 se estudia la estabilidad de los toros llanos con curvatura media constante de las esferas de Berger y del grupo lineal especial construidos en las Proposiciones 3.2 y 3.3. En este caso el operador de Jacobi de la segunda variación es un operador de Schrödinger con función potencial constante y, por tanto, el estudio de la estabilidad equivale al ejercicio de conocer el primer valor propio no nulo del laplaciano de estos toros llanos. Como novedad más importante se tiene que hay esferas de Berger en las que algunos toros llanos son estables, poniéndose de nuevo de manifiesto la diferencia entre la esfera estándar y las esferas de Berger. En el caso del grupo lineal especial es interesante constatar que en todas sus métricas homogéneas existen toros llanos de curvatura media constante estables.

    En el capítulo 8 se estudian las superficies compactas estables de las esferas de Berger, del grupo lineal especial y del grupo de Heisenberg. Una primera idea para ello es usar como función test sobre nuestra superficie compacta una función meromorfa sobre ella (en realidad tres funciones valuadas reales) cuyo grado es controlado por el género de la superficie y que proporciona la teoría de Brill-Noether. Por supuesto esta idea ha sido explotada en diferentes situaciones y en nuestro caso no aportaría ningún resultado nuevo sino fuese por el control que se tiene de la integral del cuadrado de la curvatura media. Este control nos lo proporciona el poder considerar a nuestras superficies como superficies de los planos proyectivo e hiperbólico complejos y un resultado de Montiel y Urbano que acota el funcional de Willmore de estas superficies. Todas estas herramientas y manipulaciones de la segunda fórmula de variación nos permite clasificar, bajo ciertas reestricciones, las superficies compactas estables de estas 3-variedades (Teorema 8.1).

    La segunda idea para estudiar estabilidad ha sido usada muy recientemente por Ros. Las funciones test usadas se construyen a partir de los campos armónicos de la superficie (que siempre existen si el género de la superficie es mayor que cero), viendo éstos como funciones vectoriales en el espacio euclídeo, para lo cual necesitamos que nuestra 3-variedad ambiente admita una razonable inmersión isométrica en algún espacio euclídeo. Usando estas ideas, en la Proposición 8.1, damos un criterio general de estabilidad que en el caso particular del espacio euclídeo o la 3-esfera nos permite redemostrar los resultados de Barbosa, Do Carmo y Eschenburg y en el caso particular de S^2xR nos permite redemostrar el resultado de Souam. Finalmente dicho criterio junto a que nuestras 3-variedades son hipersuperficies de los planos proyectivo o hiperbólico complejos y el plano proyectivo complejo admite un embebimiento isométrico en el espacio euclídeo R^8 (el conocido como primer embebimiento estándar) nos permite obtener un resultado óptimo de estabilidad para ciertas esferas de Berger (Teorema 8.2). Este resultado de estabilidad permite resolver el problema isoperimétrico en dicha familia de esferas de Berger, provando que las soluciones son las esferas.

    Finalmente, en esta memoria también se ha tratado otro problema clásico de la geometría diferencial como es el estudio de las superficies con curvatura de Gauss constante. Básicamente consiste en estudiar superficies compactas de curvatura de Gauss constante en espacios homogéneos riemannianos con grupo de isometrías de dimensión cuatro.

    En primer lugar se obtiene una fórmula integral que involucra a la curvatura de Gauss de la superficie compacta y que es válida incluso en los espacios de curvatura constante. No obstante en estos últimos dicha fórmula es irrelevante, mientras que en los espacios homogéneos cuyo grupo de isometrías tiene dimensión cuatro permite clasificar sus superfices compactas llanas (cf. Teorema 4.1).

    Finalmente, usando argumentos de naturaleza topológica, en el Teorema 4.3 y el Corolario 4.2, estudiamos el comportamiento de la curvatura de Gauss de esta clase de superficies y probamos resultados de no-existencia para superficies compactas con curvatura de Gauss constante en estos espacios homogéneos riemannianos.