Modular forms and lattice point counting problems

• Autores: Carlos Pastor
• Directores de la Tesis: Fernando Chamizo Lorente (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2018
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 169
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jorge Jiménez Urroz (presid.) , Adrián Ubis Martínez (secret.) , Stéphane Seuret (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Los resultados contenidos en esta tesis corresponden a tres problemas que quedan en la interfaz entre el análisis armónico y la teoría analítica de números, y que se describen abajo. La tesis en si se puede considerar dividida en dos partes: los primeros tres capítulos tratan sobre la regularidad de las integrales fraccionarias de formas modulares clásicas, y los tres últimos sobre problemas de conteo de puntos del retículo.

    Dada una forma modular no nula f, esta admite una expansión en serie de Fourier. A dicha expansion se le puede asociar una integral faccionaria, que converge a una función continua en toda la recta real para orden suficientemente alto. Determinar la regularidad de las funciones que resultan de aplicar esta construcción a la función theta de Jacobi es un problema que ha generado un gran volumen de bibliografía a raíz de que Weierstrass presentara una de estas funciones como un ejemplo dado por Riemann de una función no diferenciable en ningún punto. Las funciones obtenidas a partir de formas modulares arbitrarias han empezado a ser consideradas para su estudio recientemente. En particular, era objeto del deseo determinar el llamado exponente Hölder puntual. También era interesante determinar el espectro de singularidades, compuesto por las dimensiones de Hausdorff de aquellos conjuntos donde la función alcanza un exponente Hölder puntual en particular. En ambas direcciones quedaban muchas cuestiones abiertas, que quedan esencialmente resueltas en el capítulo 3 esta tesis. Más concretamente, se dan fórmulas para determinar el exponente Hölder puntual asociado a la integral fraccionaria, que en ciertos casos tiene que ver con temas de aproximación diofántica del real en cuestión; y se da el grafo del espectro de singularidades. Además se determina una ecuación funcional aproximada, al estilo de la hallada por Duistermaat para el arriba mencionado ``ejemplo de Riemann''.

    En la segunda mitad de la tesis se tratan problemas de conteo de puntos del retículo. Dado un cuerpo convexo d-dimensional K, estamos interesados en estimar el exponente de error que mide la potencia más pequeña de R por la cual se puede mayorar el término de error de aproximar el número de puntos de coordenadas enteras en RK por su volumen. En general determinar este exponente de error es un problema difícil que sólo ha podido resolverse en algunos casos particulares. Por ejemplo, el caso más paradigmático, el ``problema del círculo de Gauss'', cuando K es un círculo en el plano, aún está abierto. En el capítulo 5 se prueba que el exponente está acotado por uno cuando K es un doble paraboloide de revolución, resultado que se extiende a una familia de paraboloides cuyas bases son elipses racionales. Esto extiende un resultado obtenido por Popov para para parábola y mejora resultados previos de Krätzel. Este resultado se espera que sea óptimo. La estrategia seguida para obtener estos resultados consiste en emplear sumación de Poisson para sustituir el problema por el de acotar una suma exponencial, que en este caso está relacionada con la función theta de Jacobi. Para obtener las cotas necesarias se emplea una versión simplificada del método del círculo. En el mismo capítulo también se dan cotas inferiores para el exponente bajo hipótesis ligeramente más fuertes, mostrando que efectivamente el exponente vale uno en muchos casos.

    Finalmente en el capítulo 6 se tratan cuerpos convexos de revolución tridimensionales con frontera suave con curvatura de Gauss no nula. Para estos objetos Chamizo probó que el exponente está acotado por 11/8 pidiendo que la tercera derivada de la función generatriz no se anulara en ningún punto. En este capítulo se prueba que basta con pedir que dicha generatriz, si se anula, lo haga con ceros de orden finito. Para esto se utiliza esencialmente el método de van der Corput, aunque en cierto punto hay que involucrar propiedades diofánticas de la fase que recuerdan al problema del paraboloide tratado en el capítulo anterior.

    Los resultados de los capítulos 3, 5 y 6 corresponden a los artículos publicados. Los otros tres capítulos contienen material introductorio.