Resumen de Groups acting on regular rooted trees: congruence subgroup problem and portrait growth
Tesi honek zuhaitz errotu erregularren automorfismoen taldeen ingurukoproblema batzuk ebaztea du helburu. Talde hauek, Grigorchuk-en lehentaldea konkretuki, 80ko hamarkadan izan ziren lehenengoz definituak (ikus[26]), eta geroztik luze eta zabal ikertu da beraien inguruan. Talde hauekinteresgarri izatearen arrazoi nagusia dauzkaten ezaugarri bitxiak direla esangenezake. Esate baterako, Grigorchuk-en lehen taldea Burnsideren problemaorokorraren kontra adibide bat da, hau da, talde finituki sortua, periodikoaeta infinitua. Ordurako ezagunak ziren jadanik beste adibide konplexuagobatzuk, baina talde hau definitzearen helburua hasiera batean Burnsiderenproblema orokorrarentzat adibide sinple bat ematea izan zen. Gerora, ordea,beste propietate berezi asko dauzkala frogatu ahal izan da. Horien arteangarrantzitsuena, Milnor-en problemari ([32]) erantzuna eman ziona. Jakinazen ordurako bazirela taldeak hitzen hazkunde polinomiala eta exponentzialazeukatenak, baina erdibideko hazkundea zeukan talderik ba ote zen galdetuzuen Milnorrek. Erantzuna baiezkoa zen, eta Grigorchuk-en lehen taldeaizan zen lehen adibidea ([21]). Geroztik hainbat problema ikertu dira taldehauekin erlazionatuta, eta hainbat orokorpen ezberdin eta talde berri definitudira alor honetan.Zuhaitz errotu erregularrak, honela eraikitzen dira: Izan bedi X multzofinitu bat, d elementu dauzkana. Orduan X¿, hau da, multzoa alfabeto bezala131LABURPENA EUSKERAZkontsideratuz osa daitezkeen hitz finituen multzoak osatzen du zuhaitzarenerpinen multzoa. Bi erpin u, v ¿ X¿ ertz batez lotuta egongo dira baldineta u = vx edo v = ux bada x ¿ X baterako. Honela eraikitako zuhaitza Tbidez adieraziko dugu, eta d-adikoa dela esango dugu X-k d elementu baldinbadauzka.Izan bedi T zuhaitz d-adikoa. Zuhaitzaren automorfismo bat, erpinenarteko bijekzio bat da, zeinek ertzen loturak errespetatzen dituen. Automorfismoguztien multzoa Aut T bezala adieraziko dugu, eta konposaketarekikotalde bat osatzen du.Tesiaren 1. kapituluan zuhaitzen automorfismoen inguruko definizio garrantzitsuenakematen dira. Adibidez, G ¿ Aut T self-similar edo (weakly)branch izatea zer den.Ondoren, talde hauekin erlazionatutako problema ezberdinak azaltzendira. Batetik, congruence subgroup problem bezala ezagutzen dena. Problemahonek talde infinituen indize finituko azpitaldeak hobeto ezagutzea duhelburu. Hasiera batean talde aljebraikoentzako planteatu zen, hain zuzenere SLn(Z) taldeentzako. Problemak, nolabait esateko, galdetzen du ea indiziefinituko azpitalde guztiak ezagutzeko nahikoa den azpitalde finituen familiakonkretu bat ezagutzea. Edo beste era batera esanda, ea indize finitukoazpitalde guztiek eta familia konkretu horrek topologia bera definitzen dutentaldean. Lehen aipatutako SLn(Z) taldeen kasuan, familia hori {ker(¿m :SLn(Z) ¿ SLn(Z/mZ))}m¿N da, eta hortik datorkio `congruence¿ izena. Beraz,bi topologiak berdinak diren kasuan, taldeak congruence subgroup propertyduela esaten da.Zuhaitzen automorfismoen taldeentzat problemaren analogoa planteatzerakoorduan, familia berezi bezala maila bakoitzeko estabilizatzaileak hartzenditugu kontuan; hau da, stG(n) da n luzerako erpinak finko uzten dituzten132LABURPENA EUSKERAZautomorfismoek osatzen duten azpitaldea. Beraz, galdera litzateke ea G ¿Aut T-ren indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek topologia beradefinitzen duten G-n.Planteatzen den bigarren problemak talde bateko elementuen deskribapenarekindu zerikusia. Zuhaitz d-adiko baten automorfismo bakoitza erpinbakoitzari permutazio bat esleituta deskriba daiteke, non permutazio horrekadierazten duen nola mugitzen dituen automorfismoak erpin horretatikzintzilik dauden d erpinak. Gainera, taldea self-similar den kasuetan, dekoraziohori puntu batean amai daiteke, permutazio baten ordez talde berekoautomorfismo bat jarriz. Horrek adieraziko luke erpin horretatik behera elementuakegiten duen ekintza automorfismo horrek zuhaitz osoan egiten duenekintzarekin deskriba daitekeela. Kontua da era honetan ez dagoela garbinoiz amaitu behar dugun dekorazioa eta noiz jarraitu. Horregatik, taldeacontracting deritzona izatea garrantzizkoa da. Izan ere, kasu horretan elementumultzo finitu bat existitzen da, nukleo deritzona, non edozein elementurendekorazioan puntu batetik aurrera nukleo horretako elementuetanerortzen garen. Orduan elementu bakoitza gisa horretan dekoratuta, hau da,nukleoko elementu batekin topo egiterakoan gelditu ezkero, elementuarensakonerari (depth) buruz hitz egin dezakegu. Elementu baten sakonera litzatekeelementuaren dekorazioan errotik hasita dagoen bide luzeenaren luzera.Behin elementu bakoitzari sakonera bat esleituta, galdera naturala da zeinden sakoneraren hazkundea, portrait growth bezala ezagutzen dena. Galderahau Grigorchuk-ek egin zuen [18] artikuluan Grigorchuk-en lehen taldeariburuz.Lehen kapituluarekin bukatzeko tesian zehar agertuko diren talde ezberdinendefinizioa ematen da: Grigorchuk-en lehen taldea, GGS-taldeen familia,Hanoi-ren dorreen taldea eta Apollonian taldea eta Basilica taldea. Talde133LABURPENA EUSKERAZbakoitzaren definizioaz gain ezagunak diren zenbait propietate garrantzitsuaipatzen dira, baita gerora beharrezkoak izango diren batzuk enuntziatu etafrogatu ere.Bigarren kapituluan literaturan nahasmena sortu duen kontzeptu bat argitzendugu. Zuhaitzen automorfismoen talde bat fractal dela esaten dabaldin eta erpin bakoitzean talde osoaren ekintza berreskura badaiteke, nolabaitesateko. Zenbait artikulutan esaten zen hori eta lehen mailako estabilizatzailearenerpin bakoitzeko proiekzioa supraiektiboa izatea baliokideakzirela. Egia da bigarrenak lehena inplikatzen duena, baina alderantzizkoa ezda egia. Beste zenbait artikulutan bereizketa egina zegoen eta gogorragoaden baldintza honi strongly fractal esaten zitzaion. Edozein kasutan, inonez zen adibiderik ematen fractal izan eta strongly fractal ez zenarena. Gukbi adibide eraikitzen ditugu. Bestalde, talde bat fractal izan dadin, nahikoada lehen mailako erpinetan fractal izateko baldintza batetzen badu. Artikulubatean esaten zen strongly fractal-ekin ere gauza bera gertatzen zela.Adibideak emanez ikusten dugu ez dela horrela, eta beraz hirugarren honi,hau da, lehen mailan bakarrik ez, maila denetan strongly fractal izateko baldintzabetetzeari super strongly fractal izena eman diogu. Adibideak emanezerakusten dugu bi propietate hauek ere ez direla baliokideak. Emaitza hauek[37] artikuluan publikatuak izan dira.Hirugarren kapituluan aurrerago aipatutako congruence subgroup problemaztertzen dugu GGS-taldeen familiarentzat. Talde hauek zuhaitz p-adikoarenautomorfismoen taldeak dira p zenbaki lehen bakoitia izanik. Bi elementuksortzen dituzte eta elementuetako bat bektore baten arabera definitzen da.Honela, bektore bakoitzak talde bat definitzen du. Aldez aurretik jakinazen ([33]), talde hauek periodikoak diren kasuan badaukatela congruencesubgroup property. Hau da, indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek134LABURPENA EUSKERAZtopologia bera definitzen dutela taldean. Kontua da, talde hauek periodikoakdirela baldin eta soilik baldin definizio bektorearen osagaien batura zero badaFp-n (ikus [38]). Guk kasu guztietarako ematen dugu erantzuna. Hasteko,frogatzen dugu G taldea bektore ez-konstante batek definituriko GGS-taldeabada, orduan congruence subgroup property daukala.Emaitza honi esker, Barnea-k egindako galdera bat erantzuteko gai izangara (ikus [2]). Izan ere, galdetzen zuen ea existitzen ziren finituki sortuak,erresidualki finituak, ez periodikoak ziren talde infinituak zeintzuen konplezioprofinitua pro-p taldea zen. GGS-taldeetako asko ez direnez periodikoak etaAut T-ren Sylow-en pro-p talde batean bizi direnez, Barnea-ren galderarakoadibideak direla frogatzen du aurreko emaitzak. Gainera, Barnea-k bigarrengaldera bat egiten du, ez periodiko beharrean tortsio-askeak (torsion-free)izateko eskatuz. Talde hauetako batzuk birtualki tortsio-askeak direla frogatzendugu, eta beraz bigarren galderari ere erantzuna ematen diogu.Bektore konstante bidez definituriko GGS-taldearen kasua (G bidez adieraziduguna tesi osoan zehar) erabat ezberdina da. Izan ere konplezio profinitutikestabilizatzaileekiko konpleziora dagoen epimorfismo naturalak isomorfismoizan behar luke congruence subgroup property izateko. Bestela esanda,epimorfismo horren nukleoa, congruence kernel deiturikoa, tribiala izan beharda. Guk frogatzen dugu G-ren kasuan nukleo hau infinitua dela, etaberaz, ez daukala congruence subgroup property.Hau gertatzearen arrazoia da, G taldeak indize finituko azpitalde batduela zein Z-ra proiektatzen den. Beraz, G-n existitzen dira indizea p-renberretura ez duten indize finituko azpitaldeak. Nola estabilizatzaile denenindizea p-ren berretura den, horrek zuzenean garamatza bi topologiak ezindaitezkeela berdinak izan ondorioztatzera. Beraz, galdera naturala da, indizefinituko azpitalde guztiak hartu ordez, indizea p-ren berretura duten135LABURPENA EUSKERAZazpitalde normalak kontsideratuz gero, ea orduan bat datozen estabilizatzaileentopologia eta azken hau. Hori da hain zuzen ere laugarren kapituluarenmotibazioa. Aurretik aipatutako emaitzak, [14] artikuluan bilduta daude.Bukatzeko, kapitulu berean, GGS-taldeen orokorpena diren multi-GGStaldeentzako ere orokortzen ditugu aurreko bi emaitzak. Talde hauek, sortzaileberriak gehituz eraikitzen dira. Hala, sortzaile bakoitza bektore ezberdinbatek definitzen du. Kasu honetan beraz, emaitza da G ez den edozein multi-GGS taldek baduela congruence subgroup property. Hemen aurki daitekeaipatutako emaitza: [17].Laugarren kapituluan congruence subgroup problem-aren orokorpen batplanteatzen dugu. Aldez aurretik esan gisan, kasu batzuetan beste topologiabatzuk egokiagoak izan daitezke estabilizatzaileenarekin konparatzerakogaraian.Izan bedi C talde finituen pseudo-barietate bat. Hau da, talde finituenmultzo bat, itxia dena azpitaldeekiko, zatidurekiko eta biderketa kartesiarfinituekiko. Orduan, oro har G talde infinitu bat izanik, NC = {N ¿ G |G/N ¿ G}-k topologia bat definitzen du G-n, pro-C topologia deritzona.Baldin eta G zuhaitz errotu erregular baten automorfismoen taldea bada,eta G/ stG(n) ¿ C betetzen bada n ¿ N guztietarako, orduan estabilizatzaileentopologia konparagarria da pro-C topologiarekin. Bi topologiak bat datozeneanesango dugu G-k C-congruence subgroup property daukala (C-CSPlaburtuta).Kapitulu berean, problema definitzeaz gain, weakly regular branch direnzuhaitzen automorfismoen taldeentzako baldintza nahikoa den bat ematendugu C-CSP izan dezaten.Baldintza hori baliatuz frogatzen dugu G-k baduela p-CSP, eta baitaBasilica taldeak 2-CSP duela ere bai. Nahiz eta gu p-talde finituen barieta-136LABURPENA EUSKERAZteekin baino ez garen aritzen, aipagarria da baldintzak orokorrean balio duela,eta beraz, interesgarria litzateke adibideak topatzea zeintzuentzat taldenilpotente finituen edo ebazgarri finituen pseudo-barietateentzako betetzenden propietatea, adibidez. Emaitza hauek [16] artikuluan daude jasota.Bukatzeko, bostgarren eta azken kapituluan lehenago aipatutako portraitgrowth-aren problemaz arduratzen gara. Hasteko, regular branch direntaldeentzako bide bat ematen dugu ekuazio errekurtsibo batzuk eskuratuahal izateko. Horrela, n sakonera duten elementuen kopurua kalkulatzekogaitasuna izango dugu n ¿ 1 sakonera dutenen kopurua ezagututa.Ondoren Grigorchuk-en lehen taldea, bektore ez-simetrikoek definitutakoGGS-taldeak eta Apollonian taldearentzat kalkulatu egiten ditugu aipatutakoekuazioak. Hiru kasuetan, teknika ezberdinak erabiliz, gai gara frogatzekohazkundea exponentzial bikoitza dela. Gure konjetura da gauzabera beteko dela edozein regular branch eta contracting den taldetan, bainamomentuz ez gara frogatzeko gai izan. Emaitza hauek [35] artikuluan topadaitezke.
