Resumen de Soluciones algebraicas a la resolución de problemas multiobjetivo discretos: = Algebraic solutions for solving discrete multiobjective problems
Víctor Blanco Izquierdo 
En esta tesis presentamos diversos métodos para resolver dos tipos de problemas multiobjetivo discretos: programas enteros lineales y polinómicos, El caso lineal ha sido abordado haciendo uso de una nueva estructura propuesta también en esta memoria: las bases de Gröbner parciales (en su forma polinomial y en su interpretación geométrica) y de las funciones generatrices. Las bases de Gröbner parciales nos permiten desarrollar una metodología análoga a la presentada previamente por Conti y Traverso (1991) pero para problemas multiobjetivo. La ventaja de esta herramienta es que tiene una interpretación geométrica intuitiva, además de relativamente fácil de describir e implementar para obtener las soluciones Pareto-óptimas de un problema multiobjetivo. Por otra parte, presentamos una la metodología basada en funciones generatrices que usa los resultados de Barvinok para codificar los puntos enteros que hay dentro de un politopo para dar una presentación, en términos de funciones racionales cortas, de las soluciones Pareto-óptimas de un problema multiobjetivo. Con esta herramienta, presentamos algunos resultados de complejidad de la optimización entera multiobjetivo, dando un algoritmo polinomial en dimensión fija (sin fijar la dimensión del espacio de objetivos). Esta clase de resultados parecen difíciles de obtener usando bases de Gröbner parciales, ya que incluso en el caso mono-objetvo no está muy clara la complejidad del cálculo de las bases de Gröbner standard (la cota superior conocida es exponencial en la dimensión del espacio de decisión).
La otra clase de problemas que resolvemos son los problemas multiobjetivo polinómicos discretos. Para resolverlos, usamos las propiedades de las bases de Gröbner lexicográficas para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas. Para usar estas bases, primero transformamos el problema de optimización en el problema de resolver un sistema de ecuaciones polinómicas. Para esta transformación, usamos diferentes estrategias: una de ellas sin usar condiciones de optimalidad, otras utilizando resultados de escalarización y condiciones de optimalidad para problemas escalares, y finalmente, usando condiciones de no dominancia. Para el desarrollo de estos algorimos hemos considerado las condiciones más generales posibles, de forma que se presentan metodologías generales para resolver cualquier problema multiobjetivo polinómico discreto.
