Geometría integral en espais de curvatura holomorfa constant

• Autores: Judit Abardia Bochaca
• Directores de la Tesis: Gil Solanes Farrés (dir. tes.) , Eduardo Gallego Gómez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Autònoma de Barcelona ( España ) en 2009
• Idioma: catalán
• Tribunal Calificador de la Tesis: Agustí Reventós i Tarrida (presid.) , José Joaquín Gual Arnau (secret.) , Andreas Bernig (voc.)
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• Resumen

  • En la tesis descrita se resuelven cuestiones de geometría integral clásica pero en los espacios de curvatura holomorfa constante, es decir, en el espacio complejo estándard, el espacio proyectivo complejo y el espacio hiperbólico complejo, Para llegar al objetivo, en primer lugar, se resumen las principales propiedades y definiciones de variedades de Kähler y, en particular de los espacios de curvatura holomorfa constante. También se introduce el concepto de valoración en espacios vectoriales. Una valoración es un funcional sobre los reales, del espacio de dominios convexos compactos no vacíos, que satisface una propiedad de additividad. Este concepto estará en la base de los resultados en este trabajo ya que esta noción se puede extender en variedades regulares. Así, pues se dedica un capítulo a definir los ejemplos que se utilitzaran y ya se describen nuevas propiedades (variacionales) de las valoraciones en los espacios de curvatura holomorfa constante.

    En este punto, se dan los principales resultados de la tesis. Uno de los problemas de estudio de la geometría integral clásica trata de encontrar una expresión de la medida de planos que corta un dominio fijado del espacio Euclidiano, en términos de la geometría del dominio. La fórmula que se obtiene en el espacio Eclideano involucra los volúmenes mixtos (o equivalentemente, por dominios con frontera regular, las integrales de curvatura media del dominio). En los otros espacios de curvatura seccional constante (es decir, en el espacio proyectivo y el espacio hiperbólico real) también se verfica una fórmula que involucra los volúmenes mixtos. En este trabajo se obtiene una expresión de la medida de planos complejos (de dimensión compleja de 1 hasta n-1, si n denota la dimensión compleja del espacio ambiente) que corta un dominio compacto con frontera regular. La expresión se obtiene en términos de las valoraciones denotadas como volúmenes intrínsicos hermíticos, que se definen en el segundo capítulo. Para provar esta expresión se utilizan nuevas fórmulas variacionales tanto para la medida de planos complejos que cortan como para los volúmenes intrínsicos hermíticos.

    A partir del método variacional anterior, se obtiene la fórmula de Gauss-Bonnet-Chern en el espacio proyectivo e hiperbólico complejos. Además, se relaciona la característica de Euler de un dominio compacto en estos espacios con la medida de hiperplanos complejos que cortan el dominio y la integral de la curvatura de Gauss.

    Por otro lado, se estudia la propiedad de reproductivilidad de las integrales de curvatura media. En los espacios de curvatura seccional constante se tiene una propiedad reproductiva, es decir, la integral sobre el espacio de planos de una integral de curvatura media del dominio intersección es un múltiplo de la misma integral de curvatura media de todo el dominio. En los espacios de curvatura holomorfa constante esta propiedad no se conserva. Este hecho se explica también a partir de la teoria de valoraciones. Este hecho se explica también a partir de la teoria de valoraciones. La demostración involucra técnicas de geometría Riemanniana y las referencias móbiles.

    Finalmente, se encuentra la medida de los planos coisotrópicos del espacio complejo que intersecan un dominio. Se llama plano coisotrópico a aquellos que su ortogonal es totalmente real. También se estudian propiedades de las hipersuperficies (reales) generades por la exponencial en un punto (que no son totalmente geodésicas), sobre el espacio hiperbólico complejo.