Homogeneous polynomial vector fields on the 2-dimensional sphere

• Autores: Claudio Gomes Pessoa
• Directores de la Tesis: Jaume Llibre (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Autònoma de Barcelona ( España ) en 2006
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Armengol Gasull i Embid (presid.) , Joan Carles Artés Ferragud (secret.) , Jordi Villadelprat Yagüe (voc.) , Jaume Giné Mesa (voc.) , Weigu Li (voc.)
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• Resumen

  • La teoría de los sistemas dinámicos es una de las más importantes herramientas para estudiar cualitativamente e cuantitativamente los modelos de las ciencias aplicadas, Desde los primeros trabajos publicados por Poincaré, a teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene experimentado una expansión significativa envolviendo técnicas de casi todas las áreas de la matemática. Dentro de esta teoría los campos de vectores definidos en el plano o en una superficie tienen sido unos de los principales objetos estudiados. Sin embargo estés tópicos están lejos de estar totalmente entendidos.

    Problemas famosos en este tópico son el 16º problema de Hilbert, el problema del Centro-Foco, el problema de la integrabilidad, etc. Recientemente nuevos conocimientos sobre la teoría de integrabilidad de Darboux e sobre curvas algebraicas invariantes proporcionaron importantes contribuciones para algunos de estos problemas.

    En nuestro trabajo consideramos campos de vectores polinomiales homogéneos en la 2-dimensional esfera. Estudiamos sus círculos invariantes, o sea curvas algebraicas invariantes en la esfera sobre el flujo asociado a tales campos de vectores formados por círculos. Determinamos cotas superiores para el número máximo de círculos invariantes de un campo de vectores polinomial homogéneo en la esfera en función de su grado, cuando este numero es finito.

    Además, proporcionamos casi una clasificación global de todos los retratos de fase de campos de vectores polinomiales homogéneos en la esfera de grado 2. Para hacer esto la principal herramienta que usamos es la teoría cualitativa de campos de vectores en el plano, pues los campos de vectores polinomiales homogéneos en la esfera de grado 2 pueden ser reducidos a lo estudio de una familia de campos de vectores en el plano de grado 3 con seis parámetros.