Caracterización de circuitos no lineales : análisis de modelos algebraico-diferenciales mediante la teoría de grafos

Resumen

La presente Tesis Doctoral tiene por objeto el estudio de ciertas propiedades de las ecuaciones algebraico-diferenciales que aparecen en el modelado de circuitos eléctricos y electrónicos no lineales. Se sitúa en la denominada aproximación estructural a la teoría de circuitos no lineales, que pretende caracterizar sistemáticamente diferentes propiedades analíticas de estos en términos de la topología del digrafo subyacente y de las propiedades eléctricas de los dispositivos que conforman el circuito. Diversos trabajos previos han abordado el estudio de propiedades tanto analíticas como, específicamente, cualitativas en el contexto de los circuitos no lineales y desde esa perspectiva estructural. Desde un punto de vista analítico, uno de los problemas centrales en esta disciplina es la caracterización del denominado índice de diferentes modelos algebraico-diferenciales de circuitos no lineales. Trabajos recientes han empleado resultados procedentes de la teoría de grafos para abordar la caracterización del índice en contextos no pasivos; estos trabajos, sin embargo, presentan algunas limitaciones que se superan en esta Tesis mediante la utilización de nuevos modelos y técnicas. A grandes rasgos, tales limitaciones radican en el hecho de que solo se ha abordado el estudio de configuraciones denominadas no degeneradas en modelos nodales y con ciertas restricciones en las variables de control de los dispositivos. En el curso de nuestra investigación se ha obtenido una caracterización general del índice sin las restricciones anteriores, mediante el empleo de modelos simétricos (específicamente, modelos de ramas e híbridos). La segunda línea de trabajo, de tipo cualitativo, se centra en aspectos de estabilidad y en el análisis de bifurcaciones en puntos de equilibrio asociados a la polarización de circuitos. Específicamente, se abordará de forma novedosa la caracterización de la bifurcación silla-nodo en circuitos no lineales. El elemento clave que conecta estos resultados con los anteriores estriba en que la linealización del problema en el punto de bifurcación conduce a una forma en cierto sentido dual de las matrices que surgen en la caracterización del índice. En la primera parte de la Tesis se detalla el contexto teórico en el cual se enmarcan los resultados. Se recopilarán los conceptos y resultados de la teoría de grafos, álgebra matricial, ecuaciones algebraico-diferenciales y sistemas dinámicos que necesitaremos más adelante, y se hará una introducción detallada a los diferentes modelos circuitales que se abordarán posteriormente. En una segunda parte se aborda la caracterización del índice anteriormente referida. Se caracterizará el conjunto de configuraciones que conducen a modelos de índice uno y dos sin imponer restricciones de pasividad ni restringir las variables de control o las topologías admitidas. En la obtención de estos resultados ha sido necesario abordar la caracterización de la regularidad de un determinado tipo de matrices (matrices mixtas), ampliando ciertos resultados previos de Maxwell y Kirchhoff a través de un teorema de interés independiente. La última parte del trabajo se centra en la caracterización de la bifurcación silla-nodo en circuitos no lineales, mediante la adaptación del teorema clásico que describe esta bifurcación (demostrado por J. Sotomayor en 1973) al contexto algebraico-diferencial para, en una segunda fase, caracterizar las configuraciones circuitales que dan lugar a este fenómeno. A lo largo de toda la Tesis tendrá un papel esencial el memristor. Se trata del que puede entenderse como cuarto elemento circuital fundamental junto a resistencias, bobinas y condensadores, cuya existencia se postuló en 1971 y que ha sido objeto de intensa investigación en la última década. Todos los resultados analíticos obtenidos en el curso de la investigación se extenderán al contexto de los circuitos memristivos. ----------ABSTRACT---------- This Doctoral Thesis addresses the study of certain properties of differential-algebraic equations arising in nonlinear electrical and electronic circuit modelling. According to the so-called structural approach to nonlinear circuit theory, we aim at a systematic characterization of different analytical properties of such circuits in terms of the topology of the underlying digraph and the electrical features of the devices. Different previous works have tackled several analytical and qualitative properties in the nonlinear circuit setting within the aforementioned approach. From an analytical point of view, one of the main problems in this discipline is the characterization of the index of differentialalgebraic circuit models. Recent works have used graph-theoretic tools in order to address the index characterization in a non-passive context; these works, however, present several limitations which are overcome in this Thesis by means of novel models and techniques. Broadly, such limitations are related to the fact that previous approaches are focused on non-degenerate topologies in nodal models, with several additional restrictions on the controlling variables of the circuit devices. In this research we obtain a very general index characterization without such restrictions by using so-called symmetric models (specifically, branch models and hybrid models). The second research direction, which involves qualitative aspects, is focused on stability issues and on the analysis of bifurcations of equilibria which model operating points of nonlinear circuits. Specifically, we address in a novel manner the characterization of the saddle-node bifurcation in nonlinear circuits. The key element connecting these results to the previous ones is the fact that the linearization at the bifurcation point leads to certain matrices which are in a sense dual to the ones arising in index analyses. The first part of the document details the theoretical background which frames the research. We compile concepts and results from graph theory, matrix analysis, differential-algebraic equations and dynamical systems which are needed later, and provide a detailed introduction to the different circuit models which will be analyzed in later chapters. The second part of the work addresses the index characterization mentioned above. We will characterize the configurations leading to index one and index two models without restrictions on the circuit topology or on the passivity or controlling variables of the devices. In order to achieve these results we will tackle the non-singularity of a family of matrices (so-called mixed matrices) and will obtain a result which nicely generalizes two previous ones by Kirchhoff and Maxwell dual to each other. Finally, we tackle the characterization of the saddle-node bifurcation in nonlinear circuits, by adapting Sotomayor’s saddle-node theorem (proved in 1973) to the differential-algebraic context. This paves the way for a later analysis of the configurations which are responsible for this phenomenon in the circuit context. Throughout the whole document, a key role is played by the memristor. This can be understood as the fourth elementary circuit element, alongside resistors, inductors and capacitors. The existence of this device was postulated in 1971 and it has been the object of much research attention in the last decade. All our analytical results will be also extended to the memristive circuit context.