Integration, geometry and topology in Banach spaces

Abstract

En el primer capítulo se estudia la integral de Riemann vectorial. El criterio de Lebesgue de integrabilidad Riemann no funciona para funciones con valores en espacios de Banach. Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad (resp. propiedad débil) de Lebesgue, o LP (resp. WLP), si toda función integrable Riemann de [0,1] en X es continua en norma (resp. débilmente) en c.t.p. El único espacio de Banach clásico con la LP es l_1. Sin embargo, todo espacio de Banach con dual separable tiene la WLP.

El objetivo principal de esta línea de investigación es estudiar en profundidad las propiedades LP y WLP y obtener nuevas caracterizaciones y espacios que ayuden a entender estas propiedades. Los principales resultados de esta línea son los siguientes:

- El espacio de James no tiene la WLP. - La WLP es estable mediante l_1 sumas. - C(K)* tiene la WLP para todo compacto K en la clase MS. - Se responde una pregunta de M.A. Sofi sobre funciones débil*-continuas y no integrables Riemann.

El segundo capítulo se corresponde con la segunda línea de investigación y está enfocado a estudiar las propiedades que relacionan ciertas familias de espacios de Banach con sus subconjuntos débil*-compactos. En particular, un compacto se dice que es Radon-Nikodým (resp. débil Radon-Nikodým) si es homeomorfo a un conjunto débil*-compacto de un espacio dual con la propiedad de Radon-Nikodým (resp. propiedad débil de Radon-Nikodým).

Esta línea de investigación se centra en estudiar las propiedades topológicas de los compactos (débil) Radon-Nikodým y sus relaciones con otras clases. En este capítulo se exponen los siguientes resultados obtenidos:

- La imagen continua de un compacto Radon-Nikodým no es necesariamente débil Radon-Nikodým. En particular, esto responde a una pregunta de E. Glasner y M. Megrelishvili. - Toda imagen continua cero-dimensional de un compacto débil Radon-Nikodým es débil Radon-Nikodým. -El compacto de Talagrand no es imagen continua de un compacto débil Radon-Nikodým. -La clase de compactos de Rosenthal y la clase de compactos débil Radon-Nikodým son incomparables.

El tercer capítulo de la tesis estudia distintas propiedades secuenciales de espacios topológicos. En particular, se estudia la compacidad secuencial y la secuencialidad en la topología débil* del dual de un espacio de Banach. No existe ninguna caracterización de los espacios de Banach con bola dual débil*-sucesionalmente compacta y ninguna de las clases estudiadas en la actualidad parece ofrecer un candidato viable para tal caracterización. J. Hagler, E. Odell y R. Haydon dieron ejemplos de espacios de Banach sin copias de l_1 pero sin bola dual débil*-sucesionalmente compacta. Motivado por estos ejemplos, R. Haydon preguntó si todo compacto infinito débil Radon-Nikodým tiene una sucesión convergente no trivial.

Entre los objetivos de esta línea se encuentra estudiar los espacios de Banach con bola dual débil*-sucesionalmente compacta o con bola dual débil*-secuencial y responder la pregunta de R. Haydon. Además, estudiamos distintas versiones convexas de estas propiedades. Los resultados principales obtenidos en esta línea y expuestos en el tercer capítulo son los siguientes:

-Se obtienen condiciones suficientes para que un espacio de Banach tenga bola dual débil*-sucesionalmente compacta. -Se responde parcialmente la pregunta de R. Haydon. -Se responde una pregunta de A. Plichko sobre la existencia de espacios de Banach con bola dual débil*-secuencial y no Fréchet-Urysohn. En particular, se prueba que el espacio de Johnson-Lindenstrauss JL_2 y que todo espacio C(K) con K un compacto disperso de altura numerable tienen bola dual débil*-secuencial. In the first chapter we study the Riemann integral of vector-valued functions. Lebesgue's Criterion of Riemann integrability fails in general for functions taking values in a Banach space. We say that a Banach space X has the Lebesgue property (resp. weak Lebesgue property) or LP (resp. WLP) if every Riemann integrable function from [0,1] to X is norm-continuous (resp. weak-continuous) a.e. All classical infinite-dimensional Banach spaces except l_1 do not have the LP. Nevertheless, every Banach space with separable dual has the WLP.

The main aim of this chapter is to study the LP and the WLP and to obtain new characterizations and examples in order to understand better these properties. The main results of this chapter are:

-The James tree space does not have the WLP. -The WLP is stable under l_1-sums. -C(K)* has the WLP whenever K is a compact space in the class MS. -We answer a question of M.A. Sofi concerning the existence of weak*-continuous nonRiemann integrable functions.

In the second chapter we study properties which relate families of Banach spaces to their weak*-compact sets. In particular, a compact space is said to be Radon-Nikodým (resp. weakly Radon-Nikodým) if it is homeomorphic to a weak*-compact subset of a dual Banach space with the Radon-Nikodým property (resp. with the weak Radon-Nikodým property).

This line of research focuses on studying topological properties of (weakly) Radon-Nikodým compact spaces and their relation with other classes of compact spaces. In this chapter we show the following results:

-The continuous image of a Radon-Nikodým compact space may not be weakly Radon-Nikodým. In particular, this result answers a question of E. Glasner and M. Megrelishvili. -Every zero-dimensional continuous image of a weakly Radon-Nikodým compact space is weakly Radon-Nikodým. -Talagrand's compact is not a continuous image of a weakly Radon-Nikodým compact space. -The class of Rosenthal compact spaces and the class of weakly Radon-Nikodým compact spaces are uncomparable.

The third chapter studies different sequential properties in topological spaces. In particular, we study sequential compactness and sequentiality in dual Banach spaces with the weak*-topology. There is no characterization of Banach spaces with weak*-sequentially compact dual ball and none of the classes presently under study offers a viable candidate for such a characterization. J. Hagler, E. Odell and R. Haydon provided examples of Banach spaces containing no copy of l_1 but such that their dual ball is not weak*-sequentially compact. Motivated by these examples, R. Haydon asked whether every infinite weakly Radon-Nikodým compact space has a nontrivial convergent sequence.

The main goals of this line of research are to study Banach spaces with weak*-sequentially compact dual ball or weak*-sequential dual ball and to answer Haydon's question. Furthermore, we study different convex versions of these properties. The main results in this line are the following: -We obtain sufficient conditions for a Banach space to have weak*-sequentially compact dual ball. -We provide a partial answer to Haydon's question. -We answer a question of A. Plichko about the existence of Banach spaces with weak*-sequential dual ball nonFréchet-Urysohn. In particular, we prove that Johnson-Lindenstrauss space JL_2 and every Banach space C(K) with K an scattered compact space of countable height have weak*-sequential dual ball.